Tính tích phân I = .

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 4433:

Tính tích phân I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinxdx}{(sinx + cosx)^{3}}$ .

A. 1

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{3}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:4433

Giải chi tiết

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx.dx}{(sinx + cosx)^{3}}$ . Ta có:

$\frac{sinx}{(sinx+cosx)^{3}}$ = $\frac{A(sinx + cosx)'}{(sinx + cosx)^{3}}$ + $\frac{B(sinx + cosx)}{(sinx + cosx)^{3}}$

= $\frac{(A+B)cosx+(B-A)sinx}{(sinx+cosx)^{3}}$

Đồng nhất 2 vế ta có: $\left\{\begin{matrix} A+B=0\\B-A=1 \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} A=-\frac{1}{2}\\B=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Khi đó I = $-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(cosx-sinx).dx}{(cosx+sinx)^{3}}+ \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{(cosx+sinx)^{2}}$

= $-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(sinx+cosx)}{(cosx+sinx)^{^{3}}}$ + $\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )}{2sin^{2}\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )}$

= $\left ( \frac{1}{4(sinx+cosx)^{2}}-\frac{1}{4}cot\left ( x+\frac{\pi}{4} \right ) \right )$ $|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ = $\frac{1}{2}$ .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.