Tính tích phân I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinxdx}{(sinx + cosx)^{3}}$ .

Câu 4433: Tính tích phân I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinxdx}{(sinx + cosx)^{3}}$ .

A. 1

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{3}$

Câu hỏi : 4433

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx.dx}{(sinx + cosx)^{3}}$ . Ta có:

$\frac{sinx}{(sinx+cosx)^{3}}$ = $\frac{A(sinx + cosx)'}{(sinx + cosx)^{3}}$ + $\frac{B(sinx + cosx)}{(sinx + cosx)^{3}}$

                              = $\frac{(A+B)cosx+(B-A)sinx}{(sinx+cosx)^{3}}$

Đồng nhất 2 vế ta có: $\left\{\begin{matrix} A+B=0\\B-A=1 \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} A=-\frac{1}{2}\\B=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Khi đó I = $-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(cosx-sinx).dx}{(cosx+sinx)^{3}}+ \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{(cosx+sinx)^{2}}$

            = $-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(sinx+cosx)}{(cosx+sinx)^{^{3}}}$ + $\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )}{2sin^{2}\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )}$

            = $\left ( \frac{1}{4(sinx+cosx)^{2}}-\frac{1}{4}cot\left ( x+\frac{\pi}{4} \right ) \right )$ $|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ = $\frac{1}{2}$ .

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.