Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\),

Câu hỏi số 443593:

Vận dụng

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(CD\). Diện tích thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AMG} \right)\) (tính theo \(a\)) bằng:

A. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{8}\)

C. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{2}\)

D. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{32}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:443593

Phương pháp giải

- Xác định thiết diện bằng cách xác định giao tuyến với các mặt của tứ diện.

- Chứng minh thiết diện là tam giác cân.

- Tính chiều cao và cạnh đáy tương ứng của tam giác cân, sử dụng định lí Pytago, tính chất tam giác cân, tính chất đường trung bình của tam giác, từ đó tính diện tích tam giác.

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\), do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(A,\,\,G,\,\,N\) thẳng hàng.

Do đó thiết diện của tứ diện cắt bởi \(\left( {AGM} \right)\) là \(\Delta AMN\).

Dễ thấy \(\Delta ABC;\,\,\Delta ACD\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), suy ra \(\Delta AMN\) cân tại \(A\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\)\( \Rightarrow AH \bot MN\).

Ta có: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\) nên \(MN = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}\)\( \Rightarrow MH = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{a}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AHM\) ta có:

\(AH = \sqrt {A{M^2} - H{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{4}\).

Vậy \({S_{\Delta AMN}} = \dfrac{1}{2}AH.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {11} }}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.