Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\),
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(CD\). Diện tích thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AMG} \right)\) (tính theo \(a\)) bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Xác định thiết diện bằng cách xác định giao tuyến với các mặt của tứ diện.
- Chứng minh thiết diện là tam giác cân.
- Tính chiều cao và cạnh đáy tương ứng của tam giác cân, sử dụng định lí Pytago, tính chất tam giác cân, tính chất đường trung bình của tam giác, từ đó tính diện tích tam giác.
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\), do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(A,\,\,G,\,\,N\) thẳng hàng.
Do đó thiết diện của tứ diện cắt bởi \(\left( {AGM} \right)\) là \(\Delta AMN\).
Dễ thấy \(\Delta ABC;\,\,\Delta ACD\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), suy ra \(\Delta AMN\) cân tại \(A\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\)\( \Rightarrow AH \bot MN\).
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\) nên \(MN = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}\)\( \Rightarrow MH = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{a}{4}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AHM\) ta có:
\(AH = \sqrt {A{M^2} - H{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{4}\).
Vậy \({S_{\Delta AMN}} = \dfrac{1}{2}AH.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {11} }}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{16}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
