Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a\). Hai mặt bên SAB, SCD là các tam giác đều.

Câu hỏi số 443655:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a\). Hai mặt bên SAB, SCD là các tam giác đều. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, E là điểm di động trên đoạn thẳng BG (E khác B). Cho mp\(\left( \alpha \right)\) qua E, song song với SA và BC.

a) Chứng minh rằng đường thẳng AD song song với mp\(\left( \alpha \right)\) . Tìm giao điểm M, N, P, Q của mp(a) với các cạnh SB, SC, DC, BA.

b) Gọi I là giao điểm của QM và PN. Chứng minh I nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm E di động trên đoạn BG.

c) Chứng minh tam giác IPQ là tam giác đều. Tính diện tích tam giác IPQ theo \(a\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:443655

Giải chi tiết

a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)//BC\,\,\left( {gt} \right)\\AD//BC\end{array} \right. \Rightarrow AD//\left( \alpha \right)\).

Xét \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) có \(E\) là điểm chung.

\(\left\{ \begin{array}{l}SA \subset \left( {SAB} \right)\\SA//\left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\) = đường thẳng đi qua \(E\) và song song với \(SA\).

Đường thẳng này cắt \(SB,\,\,AB\) lần lượt tại \(M,\,\,Q\) , khi đó ta có \(\left( \alpha \right) \cap SB = M,\,\,\left( \alpha \right) \cap BA = Q\).

Tương tự trong \(\left( {SBC} \right)\) qua \(M\) kẻ \(MN//BC\,\,\left( {N \in SC} \right)\), ta có \(\left( \alpha \right) \cap SC = N\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) qua \(Q\) kẻ \(QP//BC\,\,\left( {P \in CD} \right)\), ta có \(\left( \alpha \right) \cap CD = P\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}I \in MQ \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right)\\I \in NP \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow I\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right);\,\,\left( {SCD} \right)\).

Mà \(\left( {SAB} \right);\,\,\left( {SCD} \right)\) cố định nên giao tuyến của chúng là cố định.

Vậy khi \(E\) di động trên \(BG\) thì \(I = MQ \cap NP\) luôn thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right);\,\,\left( {SCD} \right)\) cố định.

c) Vì \(SAB,\,\,SCD\) là các tam giác đều cạnh \(a\) nên \(SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a\).

Dễ thầy \(BCPQ\) là hình bình hành (tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song) nên \(PQ = AD = a\).

Ta có \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow SI//AB//CD\).

Do đó \(SDPI,\,\,SAIQ\) là các hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IP = SD = a\\IQ = SA = a\end{array} \right.\).

Do đó \(IP = IQ = PQ = a \Rightarrow \Delta IPQ\) đều cạnh \(a\).

Vậy \({S_{\Delta IPQ}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.