Cho đoạn thẳng \(AB\) và một điểm \(M\) thay đổi trên đoạn \(AB\) (\(M\) không trùng với \(A\)

Câu hỏi số 444245:

Vận dụng

Cho đoạn thẳng \(AB\) và một điểm \(M\) thay đổi trên đoạn \(AB\) (\(M\) không trùng với \(A\) và \(B\)). Vẽ hình vuông \(AMCD\) và \(BMEF\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng với bờ \(AB\).

a) Chứng minh \(AE = BC\) và \(AE \bot BC\).

b) Gọi \(G,\,\,I,\,\,N,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC,\,\,CE,\,\,EB\). Tứ giác \(GINK\) là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh \(DF\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(M\) di chuyển trên \(AB\).

d) Chứng minh rằng trung điểm \(O\) của \(IK\) luôn nằm trên một đường cố định khi \(M\) di chuyển trên \(AB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444245

Phương pháp giải

a) Áp dụng định nghĩa và tính chất hình vuông và chứng minh tam giác bằng nhau. Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.

b) Áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác và dấu hiệu nhận biết hình vuông (hình thoi có một góc vuông là hình vuông)

c) \(P\) là trung điểm của \(DF\). Chứng minh \(PG\) là đường trung bình của hình thang \(ADFB\) (\(PG = \frac{1}{2}AB\))

d) Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(PM\). Gọi \(T\) và \(X\) lần lượt là trung điểm của \(AP\) và \(PB\). Từ đó, chứng minh được \(O\) nằm trên đường trung bình của tam giác \(PAB\) (ba điểm \(P,\,\,A,\,\,B\) thẳng hàng).

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(AE = BC\) và \(AE \bot BC\).
Vì tứ giác \(AMCD\) là hình vuông nên: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = MC = CD = DA\\\angle A = \angle M = \angle C = \angle D = {90^0}\end{array} \right.\) (định nghĩa của hình vuông)
Vì tứ giác \(BMEF\) là hình vuông nên: \(\left\{ \begin{array}{l}BM = ME = EF = FB\\\angle B = \angle M = \angle E = \angle F = {90^0}\end{array} \right.\)(định nghĩa của hình vuông)
Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta CMB\) nên ta có:
\(AM = CM\) (cmt)
\(\angle AME = \angle CMB\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(ME = MB\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta AME = \Delta CMB\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow AE = BC\) (hai cạnh tương ứng) và \(\angle AEM = \angle CBM\)(hai góc tương ứng)
Gọi \(H\) là giao điểm của \(BC\) và \(AE\).
Xét \(\Delta AEM\) vuông tại \(M\) ta có:
\(\angle EAM + \angle AEM = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle CBM + \angle EAM = {90^0}\)
Xét \(\Delta ABH\) ta có:
\(\angle AHB + \angle HAB + \angle HBA = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)
Mà \(\angle HAB + \angle HBA = {90^0}\) suy ra \(\angle AHB = {90^0}\).
Do đó, \(BC \bot AE\) tại \(H\).
b) Tứ giác \(GINK\) là hình gì? Vì sao?
Xét \(\Delta ACE\) ta có:
\(N\) là trung điểm của \(CE\)
\(I\) là trung điểm của \(AC\)
Suy ra, \(IN\) là đường trung bình của \(\Delta ACE\).
Suy ra, \(IN\,{\rm{//}}\,AE\) và \(IN = \frac{1}{2}AE\) (1)
Xét \(\Delta ACE\) ta có:
\(K\) là trung điểm của \(EB\)
\(G\) là trung điểm của \(AB\)
Suy ra, \(KG\) là đường trung bình của \(\Delta ABE\).
Suy ra, \(KG\,{\rm{//}}AE\) và \(KG\, = \frac{1}{2}AE\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(KG\,{\rm{//}}\,IN,\,\,KG = IN = \frac{1}{2}AE\)
Suy ra, tứ giác \(GINK\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Xét \(\Delta ACB\) ta có:
\(I\) là trung điểm của \(AC\)
\(G\) là trung điểm của \(AC\)
Suy ra, \(IG\) là đường trung bình của \(\Delta ACB\)\( \Rightarrow IG = \frac{1}{2}BC\)
Mà ta lại có, \(AE = BC\) nên \(IN = IG\).
Do đó, tứ giác \(GINK\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}BH \bot AE\\IG\,{\rm{//}}\,BH\end{array} \right\} \Rightarrow IG \bot AE\)
\(\left. \begin{array}{l}IG \bot AE\\IN\,{\rm{//}}\,AE\end{array} \right\} \Rightarrow IG \bot IN\) tại \(I\).
\( \Rightarrow \angle GIN = {90^ \circ }\)
Do đó, tứ giác \(GINK\) là hình vuông.
c) Chứng minh \(DF\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(M\) di chuyển trên \(AB\).
Gọi \(P\) là trung điểm của \(DF\).
Vì \(\left. \begin{array}{l}AD\,{\rm{//}}\,ME\\ME\,{\rm{//}}\,BF\end{array} \right\} \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,BF\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ADFB\) là hình thang.
Ta có:
\(P\) là trung điểm của \(DF\)
\(G\) là trung điểm của \(AB\)
\( \Rightarrow \) \(PG\) là đường trung bình của hình thang \(ADFB\).
\( \Rightarrow PG = \frac{1}{2}\left( {AM + MB} \right) = \frac{1}{2}AB\)
Vì \(AB\) cố định, \(G\) cố định nên \(P\) cố định.
Do đó, \(DF\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(M\) di chuyển trên \(AB\).
d) Chứng minh: Trung điểm \(O\) của \(IK\) luôn nằm trên một đường cố định khi \(M\) di chuyển trên \(AB\).
Vì tứ giác \(GINK\) là hình vuông có \(IK,\,\,NG\) là đường chéo và \(O\) là trung điểm của \(IK\) nên \(O\) là trung điểm của \(NG\).
Vì \(PG\) là đường trung bình của hình thang \(ADFB\) nên \(PG\,{\rm{//}}\,AD\,{\rm{//}}\,BF\).
Mà \(AD \bot AB\) suy ra \(PG \bot AB\) \( \Rightarrow \angle PGM = {90^0}\).
Ta có: \(\angle CEP = {45^0}\) và \(\angle ECP = {45^0}\) suy ra \(\Delta EPC\) cân tại \(P\).
Mà \(N\) là trung điểm của \(EC\) suy ra \(PN\) là đường trung tuyến của \(\Delta EPC\).
\( \Rightarrow PN \bot EC\) tại \(N\)\( \Rightarrow \angle PNM = {90^0}\)
Xét tứ giác \(NPGM\) ta có: \(\angle PNM = \angle NMG = \angle MGP = {90^0}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(NPGM\) là hình chữ nhật.
\(NG\) và \(PM\) là hai đường chéo, \(O\) là trung điểm của \(NG\). Suy ra, \(O\) là trung điểm của \(PM\).
Gọi \(T\) là trung điểm của \(PA\) và \(X\) là trung điểm của \(PB\).
Xét \(\Delta PAM\) có:
\(O\) trung điểm của \(PM\)
\(T\) là trung điểm của \(PA\)
\( \Rightarrow OT\) là đường trung bình của \(\Delta PAM\)
\( \Rightarrow OT\,{\rm{//}}\,AM \Rightarrow OT\,{\rm{//}}\,AB\)
Xét \(\Delta PBM\) có:
\(O\) trung điểm của \(PM\)
\(X\) là trung điểm của \(PB\)
\( \Rightarrow OX\) là đường trung bình của \(\Delta PMB\)
\( \Rightarrow OX\,{\rm{//}}\,BM \Rightarrow OX\,{\rm{//}}\,AB\)
Suy ra, ba điểm \(X,\,\,O,\,\,T\) thẳng hàng. Mà \(XT\) là đường trung bình của \(\Delta PAB\)
\( \Rightarrow O\) nằm trên đường trung bình của \(\Delta PAB\). Mà ba điểm \(P,\,\,A,\,\,B\) cố định. Do đó, \(O\) luôn nằm trên một đường cố định khi \(M\) di chuyển trên \(AB\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link