a) Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} =
a) Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 0\)
b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \(\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\) thỏa mãn:
\(a \le b \le c\) và \(\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)\left( {1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {1 + \frac{1}{c}} \right) = 2\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
a) Biến đổi để biểu diễn từng số hạng: \(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}};\,\,\frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}};\,\,\frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
b) Từ \(a \le b \le c \Rightarrow \frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \ge \frac{1}{c} \Rightarrow 2 \le {\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)^3}\) suy ra các giá trị của \(a\).
Lập bảng để suy ra giá trị của \(b\) và \(c\).
a) Chứng minh rằng \(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 0\).
Ta có:
*) \(\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{{b - c}} = \frac{b}{{a - c}} + \frac{c}{{b - a}}\\ \Rightarrow \frac{a}{{b - c}} = \frac{{b\left( {b - a} \right) + c\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{a}{{b - c}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
*) \(\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{b}{{c - a}} = \frac{a}{{c - b}} + \frac{c}{{b - a}}\\ \Rightarrow \frac{b}{{c - a}} = \frac{{a\left( {b - a} \right) + c\left( {c - b} \right)}}{{\left( {c - b} \right)\left( {b - a} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{b}{{c - a}} = \frac{{ab - {a^2} + {c^2} - cb}}{{\left( {c - b} \right)\left( {b - a} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} = \frac{{ab - {a^2} + {c^2} - cb}}{{\left( {c - b} \right)\left( {b - a} \right)\left( {c - a} \right)}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
*) \(\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{c}{{a - b}} = \frac{a}{{c - b}} + \frac{b}{{a - c}}\\ \Rightarrow \frac{c}{{a - b}} = \frac{{a\left( {a - c} \right) + b\left( {c - b} \right)}}{{\left( {c - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{c}{{a - b}} = \frac{{{a^2} - ac + bc - {b^2}}}{{\left( {c - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} - ac + bc - {b^2}}}{{\left( {c - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)}}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Lấy (1) cộng (2) cộng (3) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab - {a^2} + {c^2} - cb}}{{\left( {c - b} \right)\left( {b - a} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{a^2} - ac + bc - {b^2}}}{{\left( {c - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)}}\\ = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab - {a^2} + {c^2} - cb}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{{a^2} - ac + bc - {b^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\\ = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2} + ab - {a^2} + {c^2} - cb + {a^2} - ac + bc - {b^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\\ = \frac{0}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = 0\end{array}\)
Vậy \(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 0\).
b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \(\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\) thỏa mãn: \(a \le b \le c\) và \(\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)\left( {1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {1 + \frac{1}{c}} \right) = 2\).
Vì \(a;\,\,b;\,\,c\) là các số nguyên dương và \(a \le b \le c\) nên \(\frac{1}{c} \le \frac{1}{b} \le \frac{1}{a}\).
Ta có: \(\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)\left( {1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {1 + \frac{1}{c}} \right) \le \left( {1 + \frac{1}{a}} \right)\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)\)
\( \Rightarrow 2 \le {\left( {1 + \frac{1}{a}} \right)^3} \Rightarrow 1 + \frac{1}{a} \ge \sqrt[3]{2} \Rightarrow \frac{1}{a} \ge \sqrt[3]{2} - 1 \Rightarrow a \le \frac{1}{{\sqrt[3]{2} - 1}} \approx 3,87\)
Mà \(a\) là số nguyên dương nên \(a \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).
+) Với \(a = 1 \Rightarrow \left( {1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {1 + \frac{1}{c}} \right) = 1\)
Vì \(1 + \frac{1}{b} > 1\) với mọi số nguyên dương \(b\) và \(1 + \frac{1}{c} > 1\) với mọi số nguyên dương \(c\) nên \(\left( {1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {1 + \frac{1}{c}} \right) = 1\) (vô lý) \( \Rightarrow \) Loại
+) Với \(a = 2 \Rightarrow \left( {1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {1 + \frac{1}{c}} \right) = \frac{4}{3}\)\( \Rightarrow \frac{4}{3} \le {\left( {1 + \frac{1}{b}} \right)^2} \Rightarrow \frac{1}{b} \ge \sqrt {\frac{4}{3}} - 1 \Rightarrow b \le 6,46\)
Mà \(b\) là số nguyên dương nên \(b \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\( \Rightarrow \left( {a;b;c} \right) \in \left\{ {\left( {2;\,\,4;\,\,15} \right),\,\,\left( {2;\,\,5;\,\,9} \right),\,\,\left( {2;\,\,6;\,\,7} \right)} \right\}\)
+) Với \(a = 3 \Rightarrow \left( {1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {1 + \frac{1}{c}} \right) = \frac{3}{2}\)\( \Rightarrow \frac{3}{2} \le {\left( {1 + \frac{1}{b}} \right)^2}\)\( \Rightarrow \frac{1}{b} \ge \sqrt {\frac{3}{2}} - 1 \Rightarrow b \approx 4,45\)
Mà \(b\) là số nguyên dương nên \(b \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\( \Rightarrow \left( {a;b;c} \right) \in \left\{ {\left( {3;\,\,3;\,\,8} \right),\,\,\left( {3;\,\,4;\,\,5} \right)} \right\}\)
Vậy \(\left( {a;b;c} \right) \in \left\{ {\left( {2;\,\,4;\,\,15} \right),\,\,\left( {2;\,\,5;\,\,9} \right),\,\,\left( {2;\,\,6;\,\,7} \right),\left( {3;\,\,3;\,\,8} \right),\,\,\left( {3;\,\,4;\,\,5} \right)} \right\}\).
Đáp án cần chọn là: D
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
