Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm các

Câu hỏi số 444290:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,\,\,CD\).

a) Chứng minh rằng: \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), \(\left( {SAD} \right)\).

b) Gọi \(P\) là trung điểm \(SA\). Chứng minh rằng: \(SB,\,\,SC\) song song với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

c) Gọi \({G_1},\,\,{G_2}\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC,\,\,SBC\). Chứng minh rằng: đường thẳng \({G_1}{G_2}\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

d) Dựng thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\)khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {PN{G_2}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444290

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}d//a\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d//\left( P \right)\).

b) Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}d//a\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d//\left( P \right)\), \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( Q \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a//\left( Q \right)\).

c) Sử dụng tính chất trọng tâm và định lí Ta-lét đảo, chứng minh \({G_1}{G_2}\) song song với 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), sau đó sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}d//a\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d//\left( P \right)\).

d) Xác định giao tuyến của \(\left( {PN{G_2}} \right)\) với tất cả các mặt của hình chóp.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AD//BC\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN//\left( {SBC} \right)\\MN//\left( {SAD} \right)\end{array} \right.\).

b) Vì \(MP\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\) nên \(MP//SB\). Mà \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(MP//\left( {SBC} \right)\).

Theo ý a ta có \(MN//\left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SBC} \right)//\left( {MNP} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right)//\left( {MNP} \right)\\SB \subset \left( {SBC} \right)\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SB//\left( {MNP} \right)\\SC//\left( {MNP} \right)\end{array} \right.\).

c) Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \({G_1},\,\,{G_2}\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABC\) và \(SBC\) nên ta có \(\dfrac{{E{G_1}}}{{EA}} = \dfrac{{E{G_2}}}{{ES}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow {G_1}{G_2}//SA\) (định lí Ta-lét đảo), mà \(SA \subset \left( {SAC} \right)\).

Vậy \({G_1}{G_2}//\left( {SAC} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\).

d) Gọi \(Q\) là trung điểm của \(SB\), do \({G_2}\) là trọng tâm \(\Delta SBC\) nên \(C,\,\,{G_2},\,\,Q\) thẳng hàng.

Ta có \(PQ//AB\) (do \(PQ\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\)), suy ra \(PQ//CD\).

\( \Rightarrow C,\,\,D,\,P,\,\,Q\) đồng phẳng.

Vậy \(\left( {PN{G_2}} \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện là \(CDPQ\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.