Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AD = a,\,\,AB = 2a\). Cạnh bên \(SA\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AD = a,\,\,AB = 2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Tính thể tích chóp \(S.ABCD\), sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson tính thể tích khối chóp \({V_{S.AMN}}\).
- Sử dụng công thức \({V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right).{S_{AMN}} \Rightarrow d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{AMN}}}}\).
- Sử dụng định lí Pytago, định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông, tính chất đường trung bình của tam giác tính độ dài các cạnh của tam giác \(AMN\), sau đó sử dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác \(AMN\): \({S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi \(\Delta AMN\).
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông \(SAB,\,\,SAD,\,\,ABD\) ta có:
\(\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a\\SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = \sqrt 5 a\\BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = \sqrt 5 a\end{array}\)
Khi đó ta có \(AM = \dfrac{1}{2}SB = \sqrt 2 a;\,\,AN = \dfrac{1}{2}SD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\) (đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\) nên \(MN = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(AMN\) ta có: \(p = \dfrac{{AM + AN + MN}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 a + \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 5 }}{2}a\).
\( \Rightarrow \) Diện tích tam giác \(AMN\) là \({S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABD}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Mà \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2a.2a.a = \dfrac{{4{a^3}}}{3}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{8}.\dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).
Lại có \({V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right).{S_{AMN}}\), do đó \(d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{AMN}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{6}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
