Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AD = a,\,\,AB = 2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\).

Câu 447912: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AD = a,\,\,AB = 2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\).

A. \(d = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

B. \(d = 2a\)

C. \(d = \dfrac{{3a}}{2}\)

D. \(d = a\sqrt 5 \)

Câu hỏi : 447912

Phương pháp giải:

- Tính thể tích chóp \(S.ABCD\), sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson tính thể tích khối chóp \({V_{S.AMN}}\).

- Sử dụng công thức \({V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right).{S_{AMN}} \Rightarrow d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{AMN}}}}\).

- Sử dụng định lí Pytago, định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông, tính chất đường trung bình của tam giác tính độ dài các cạnh của tam giác \(AMN\), sau đó sử dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác \(AMN\): \({S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi \(\Delta AMN\).

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông \(SAB,\,\,SAD,\,\,ABD\) ta có:

\(\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a\\SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = \sqrt 5 a\\BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = \sqrt 5 a\end{array}\)

Khi đó ta có \(AM = \dfrac{1}{2}SB = \sqrt 2 a;\,\,AN = \dfrac{1}{2}SD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\) (đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\) nên \(MN = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(AMN\) ta có: \(p = \dfrac{{AM + AN + MN}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 a + \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 5 }}{2}a\).

\( \Rightarrow \) Diện tích tam giác \(AMN\) là \({S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABD}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\).

Mà \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2a.2a.a = \dfrac{{4{a^3}}}{3}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{8}.\dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Lại có \({V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right).{S_{AMN}}\), do đó \(d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{AMN}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{6}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.