Anh Hậu có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ. Anh Hậu muốn biến hình tròn đó thành một cái
Anh Hậu có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ. Anh Hậu muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó, anh ấy phải cắt bỏ hình quạt tròn \(AOB\) rồi dán hai bán kính \(OA\) và \(OB\) lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi \(x\) là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm \(x\) để thể tích cái phễu là lớn nhất?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Đặt \(OA = OB = l\) là đường sinh của cái phễu hình nón và cũng là bán kính đường tròn.
- Tính độ dài cung lớn \(AOB\) chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu, từ đó tính bán kính đáy của phễu.
- Tính chiều cao của phễu theo \(x\).
- Lập hàm số tính thể tích của phễu theo \(x\).
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích.
Đặt \(OA = OB = l\) là đường sinh của cái phễu hình nón và cũng là bán kính đường tròn.
Khi đó, chu vi đường tròn bán kính \(OA = OB = l\) là \(2\pi l\).
Độ dài cung lớn \(AOB\) là \(\dfrac{{2\pi l}}{{2\pi }}.x = lx\), đây cũng là chu vi đường tròn đáy của cái phễu.
\( \Rightarrow \) bán kính đường tròn đáy của phễu là \(r = \dfrac{{lx}}{{2\pi }}\).
Chiều cao của phễu là \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{l^2} - {{\left( {\dfrac{{lx}}{{2\pi }}} \right)}^2}} = \dfrac{l}{{2\pi }}.\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).
Thể tích phễu \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{lx}}{{2\pi }}} \right)^2}.\dfrac{l}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} = \dfrac{{{l^3}}}{{24{\pi ^2}}}.{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).
Dễ thấy \({V_{\max }}\) khi biểu thức \({x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \) đạt GTLN.
Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) ta có :
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2x\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} + {x^2}.\dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }} = 2x\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} - \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} - \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }} = 0\\ \Leftrightarrow 2x\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\\ \Leftrightarrow 2x\left( {4{\pi ^2} - {x^2}} \right) = {x^3}\\ \Leftrightarrow 2\left( {4{\pi ^2} - {x^2}} \right) = {x^2}\,\,\,\left( {do\,\,x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 8{\pi ^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi \end{array}\)
BBT :
Do đó \(f\left( x \right)\) đạt GTLN khi \(x = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi \) hay \({V_{\max }}\) khi \(x = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi \).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
