Cho tam giác \(ABC\) đều, cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác

Câu hỏi số 450892:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) đều, cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\). Bán kính đường tròn đó là

A. \(R = a\)

B. \(R = \dfrac{a}{4}\)

C. \(R = \dfrac{a}{2}\)

D. \(R = \dfrac{{3a}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:450892

Phương pháp giải

Áp dụng: Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cũng là trọng tâm của tam giác đó.

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\), \(GA = GB = GC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} = - \dfrac{{{a^2}}}{6}\)

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(G\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Ta có:

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \)\(\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right).\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)\)\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} \)

\(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = \)\(\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right).\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)\)\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} \)

\(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} = \)\(\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right).\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GCA} } \right)\)\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GA} } \right) + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \)\( = 3M{G^2} + 3.\left( { - \dfrac{{{a^2}}}{6}} \right)\)\( = 3M{G^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

Mà \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\) suy ra \(\dfrac{{{a^2}}}{4} = 3M{G^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}\)\( \Rightarrow MG = \dfrac{a}{2}\).

Suy ra, điểm \(M\) nằm trên đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\dfrac{a}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.