Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài \(2a\), \(I\) là trung điểm \(AB\). Khi \(\overrightarrow {MA}

Câu hỏi số 451569:

Vận dụng

Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài \(2a\), \(I\) là trung điểm \(AB\). Khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 3{a^2}\). Độ dài \(MI\) là

A. \(2a\)

B. \(a\)

C. \(a\sqrt 3 \)

D. \(a\sqrt 7 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451569

Phương pháp giải

Áp dụng định lý đường trung tuyến: \(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{a{}^2}}{4}\)

Giải chi tiết

+ Vì \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) nên ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \)\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {MI} ^2}\)

\( \Rightarrow M{A^2} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + M{B^2} = 4M{I^2}\)\( \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + 2.3{a^2} = 4M{I^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

+ Áp dụng định lý đường trung tuyến trong \(\Delta ABC\), ta có:

\(M{I^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow M{I^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow M{I^2} = \dfrac{{2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)}}{4} - \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}}}{4}\)\(\)

\( \Rightarrow M{I^2} = \dfrac{{2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) - 4{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow 4M{I^2} = 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) - 4{a^2}\) \(\left( 2 \right)\)

+ Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \) \(M{A^2} + M{B^2} + 2.3{a^2}\)\( = 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) - 4{a^2}\,\)\(\left( { = 4M{I^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \,M{A^2} + M{B^2} = 10{a^2}\)

Thay \(M{A^2} + M{B^2} = 10{a^2}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(10{a^2} + 6{a^2} = 4M{I^2}\)\( \Rightarrow M{I^2} = 4{a^2}\)\( \Rightarrow MI = 2a\).

Vậy độ dài \(MI\) là \(2a\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10