Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2 - 6x - 8y - 2z + 23 = 0 và mặt phẳng (P): x + y - z + 3 = 0. Tìm trên (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất. Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu có tâm M và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.

Câu hỏi số 45224:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S): x²+ y²+ z²- 6x - 8y - 2z + 23 = 0 và mặt phẳng (P): x + y - z + 3 = 0.

Tìm trên (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất. Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu có tâm M và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.

A. (x - 4)²+ (y - 5)²+ z²= 64

B. (x - 4)²+ (y - 5)²+ z²= 6

C. (x - 4)²+ (y - 5)²+ z²= 4

D. (x - 4)²+ (y - 5)²+ z²= 8

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:45224

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 4; 1), bán kính R = √3

Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với (P) thì d: $\left\{\begin{matrix} x=3+t & & \\ y=4+t & & \\ z=1-t & & \end{matrix}\right.$

Khi đó M là giao điểm của d với (S). Tọa độ giao điểm d với (S) là nghiệm của hệ:

$\left\{\begin{matrix} x=3+t & & & \\ y=4+t & & & \\ z=1-t & & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x-8y-2z+23=0 & & & \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix} t=1 & & & \\ x=4 & & & \\ y=5 & & & \\ z=0 & & & \end{matrix}\right.$ ∪ $\left\{\begin{matrix} t=-1 & & & \\ x=2 & & & \\ y=3 & & & \\ z=2 & & & \end{matrix}\right.$

Ta thấy: d((4; 5; 0), (P)) = 4√3

d((2; 3; 2), (P)) = 2√3

Vậy M cần tìm là M(4; 5; 0)

Gọi (S) là mặt cầu cần lập . Theo hình vẽ trên ta có:

=> R' = $\sqrt{MH^{2}+HE^{2}}$ = $\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+4^{2}}$ = 8

=> (S'): (x - 4)²+ (y - 5)²+ z²= 64

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.