Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(MO = 3R\). Một đường kính \(AB\)

Câu hỏi số 452313:

Vận dụng cao

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(MO = 3R\). Một đường kính \(AB\) thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = MA + MB\).

A. \(\min S = 6R\)

B. \(\min S = 4R\)

C. \(\min S = 2R\)

D. \(\min S = R\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452313

Phương pháp giải

Áp dụng định lý cosin trong tam giác.

Giải chi tiết

Gọi \(\angle MOA = \alpha \)\( \Rightarrow \angle MOB = {180^0} - \alpha \).

Áp dụng định lí Cô-sin , ta có :

\(MA = \sqrt {M{O^2} + A{O^2} - 2MO.AO.\cos \alpha } \).

\( = \sqrt {9{R^2} + {R^2} - 6{R^2}\cos \alpha } \)\( = R\sqrt {10 - 6\cos \alpha } \).

\(MB = \sqrt {M{O^2} + B{O^2} - 2MO.BO.\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)} \).

\( = \sqrt {9{R^2} + {R^2} + 6{R^2}\cos \alpha } \)\( = R\sqrt {10 + 6\cos \alpha } \).

Xét \(C = \sqrt {10 - 6\cos \alpha } \)\( + \sqrt {10 + 6\cos \alpha } \).

\( \Rightarrow {C^2} = 20 + 2\sqrt {100 - 36{{\cos }^2}\alpha } \)\( \ge 20 + 2\sqrt {100 - 36} = 36\).

Suy ra \(C \ge 6\).

Dấu xẩy ra khi \({\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 1\\\cos \alpha = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = 0^\circ \\\alpha = 180^\circ \end{array} \right.\)

Ta có \(S = MA + MB = R\left( {\sqrt {10 - 6\cos \alpha } + \sqrt {10 + 6\cos \alpha } } \right) \ge 6R\).

Suy ra \(\min S = 6R\) khi và chỉ khỉ \(\left[ \begin{array}{l}\alpha = 0^\circ \\\alpha = 180^\circ \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(A\), \(O\), \(B\), \(M\) thẳng hàng.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.