Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(MO = 3R\). Một đường kính \(AB\)

Câu hỏi số 452313:

Vận dụng cao

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(MO = 3R\). Một đường kính \(AB\) thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = MA + MB\).

A. \(\min S = 6R\)

B. \(\min S = 4R\)

C. \(\min S = 2R\)

D. \(\min S = R\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452313

Phương pháp giải

Áp dụng định lý cosin trong tam giác.

Giải chi tiết

Gọi \(\angle MOA = \alpha \)\( \Rightarrow \angle MOB = {180^0} - \alpha \).

Áp dụng định lí Cô-sin , ta có :

\(MA = \sqrt {M{O^2} + A{O^2} - 2MO.AO.\cos \alpha } \).

\( = \sqrt {9{R^2} + {R^2} - 6{R^2}\cos \alpha } \)\( = R\sqrt {10 - 6\cos \alpha } \).

\(MB = \sqrt {M{O^2} + B{O^2} - 2MO.BO.\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)} \).

\( = \sqrt {9{R^2} + {R^2} + 6{R^2}\cos \alpha } \)\( = R\sqrt {10 + 6\cos \alpha } \).

Xét \(C = \sqrt {10 - 6\cos \alpha } \)\( + \sqrt {10 + 6\cos \alpha } \).

\( \Rightarrow {C^2} = 20 + 2\sqrt {100 - 36{{\cos }^2}\alpha } \)\( \ge 20 + 2\sqrt {100 - 36} = 36\).

Suy ra \(C \ge 6\).

Dấu xẩy ra khi \({\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 1\\\cos \alpha = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = 0^\circ \\\alpha = 180^\circ \end{array} \right.\)

Ta có \(S = MA + MB = R\left( {\sqrt {10 - 6\cos \alpha } + \sqrt {10 + 6\cos \alpha } } \right) \ge 6R\).

Suy ra \(\min S = 6R\) khi và chỉ khỉ \(\left[ \begin{array}{l}\alpha = 0^\circ \\\alpha = 180^\circ \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(A\), \(O\), \(B\), \(M\) thẳng hàng.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10