Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\sin A + \sin B = 2\sin C\\\cos A + \cos B =

Câu hỏi số 452686:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\sin A + \sin B = 2\sin C\\\cos A + \cos B = 2\cos C\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\Delta ABC\) là tam giác đều

B. \(\Delta ABC\) là tam giác vuông

C. \(\Delta ABC\) là tam giác cân

D. \(\Delta ABC\) là tam giác tù

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452686

Phương pháp giải

Bằng cách bình phương hai vế, biến đổi điều kiện để chứng minh được \(\angle A = \angle B = \angle C\).

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có hệ :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin A + \sin B = 2\sin C\\\cos A + \cos B = 2\cos C\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sin A + \sin B} \right)^2} = {\left( {2\sin C} \right)^2}\\{\left( {\cos A + \cos B} \right)^2} = {\left( {2\cos C} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + 2\sin A\sin B = 4{\sin ^2}C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + 2\cos A\cos B = 4{\cos ^2}C\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Cộng \(\left( 1 \right)\) với \(\left( 2 \right)\) , ta được :

\(\begin{array}{l}\left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}A} \right) + \left( {{{\sin }^2}B + {{\cos }^2}B} \right) + 2\left( {\sin A\sin B + \cos A\cos B} \right) = 4\left( {{{\sin }^2}C + {{\cos }^2}C} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + 1 + 2\left( {\sin A\sin B + \cos A\cos B} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \sin A\sin B + \cos A\cos B = 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {A - B} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \angle A - \angle B = 0\\ \Leftrightarrow \angle A = \angle B\end{array}\)

Từ \(\angle A = \angle B\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\sin A + \sin B = 2\sin C\\\cos A + \cos B = 2\cos C\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A + \sin A = 2\sin C\\\cos A + \cos A = 2\cos C\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sin A = 2\sin C\\2\cos A = 2\cos C\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A = \sin C\\\cos A = \cos C\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \angle A = \angle C\)

Do đó, \(\angle A = \angle B = \angle C\).

Vậy \(\Delta ABC\) là tam giác đều.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10