Tam giác \(ABC\) có độ dài ba đường trung tuyến lần lượt là \(9,\,\,12,\,\,15\). Diện tích của

Câu hỏi số 452689:

Vận dụng

Tam giác \(ABC\) có độ dài ba đường trung tuyến lần lượt là \(9,\,\,12,\,\,15\). Diện tích của tam giác \(ABC\) là

A. \(24\)

B. \(24\sqrt 2 \)

C. \(72 \)

D. \(72\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452689

Phương pháp giải

Sử dụng định lý đường trung tuyến để tìm độ dài ba cạnh của tam giác \(ABC\).

Áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác \(ABC\) \(\left( {S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} } \right)\).

Giải chi tiết

Giả sử \({m_a},\,\,{m_b},\,\,{m_c}\) lần lượt là độ dài trung tuyến hạ từ đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\).

Theo đề bài , ta có: \({m_a} = 9,\)\(\,{m_b} = 12,\)\({m_c} = 15\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} = m_a^2\\\dfrac{{2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) - {b^2}}}{4} = m_b^2\\\dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4} = m_c^2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} = 81\\\dfrac{{2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) - {b^2}}}{4} = 144\\\dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4} = 225\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} = 162\\2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} = 288\\2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} = 450\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 292\\{b^2} = 208\\{c^2} = 100\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt {73} \\b = 4\sqrt {13} \\c = 10\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\)\( = 5 + \sqrt {73} + 2\sqrt {13} \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 72\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(72\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.