Cho \(\Delta ABC\) có \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu hỏi số 452691:

Vận dụng

A. \(\cos A \le - \dfrac{1}{2}\)

B. \(\cos A \ge - \dfrac{1}{2}\)

C. \(\cos A \le \dfrac{1}{2}\)

D. \(\cos A \ge \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452691

Phương pháp giải

Kết hợp sử dụng định lý sin và định lý cosin

Giải chi tiết

Áp dụng định lý sin vào tam giác \(ABC\), ta được:

\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \)\(\dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A = \dfrac{a}{{2R}}\\\sin B = \dfrac{b}{{2R}}\\\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\end{array} \right.\)

Theo đề bài, ta có:

\({\sin ^2}B + {\sin ^2}C\)\( = 2{\sin ^2}A\)

\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{b}{{2R}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{c}{{2R}}} \right)^2}\)\( = 2{\left( {\dfrac{a}{{2R}}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}\)

Áp dụng định lý cosin vào tam giác \(ABC\) ta được:

\({a^2} = {b^2} + c{}^2\)\( - 2bc\cos A\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Rightarrow \cos A = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - 2{a^2}}}{{4bc}} = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{4bc}}\\ \Rightarrow \cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{4bc}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(a\) và \(b\) ta được: \({b^2} + {c^2} \ge 2bc\)

\( \Rightarrow \cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{4bc}}\) \( \ge \dfrac{{2bc}}{{4bc}} = \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\cos A \ge \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.