Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có cạnh \(AB = 4,\)\(BC = 6\),\(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là

Câu hỏi số 452693:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có cạnh \(AB = 4,\)\(BC = 6\),\(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là điểm trên cạnh \(CD\) sao cho \(ND = 3NC\). Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) bằng

A. \(3\sqrt 5 \)

B. \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\)

C. \(5\sqrt 2 \)

D. \(\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452693

Phương pháp giải

+ Sử dụng các tính chất hình chữ nhật và định lý Py-ta-go để tìm độ dài và cạnh của tam giác \(AMN\).

+ Sử dụng công thức \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\) để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\).

Giải chi tiết

Ta có:

+ \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB = DC = 4\\AD = BC = 6\end{array} \right.\).

+ \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC = 3\).

+ \(N \in DC,\,\,ND = 3NC\)\( \Rightarrow NC = 1,\,\,ND = 3\)

Xét tam giác \(ABM\), ta có :

\(A{B^2} + B{M^2} = A{M^2}\) (định lý Py-ta-go)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{M^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow AM = 5\end{array}\)

Xét tam giác \(ADN\), ta có :

\(A{N^2} = A{D^2} + D{N^2}\) (định lý Py-ta-go)

\( \Leftrightarrow A{N^2} = {6^2} + {3^2} = 45\)

\( \Rightarrow AN = 3\sqrt 5 \)

Xét tam giác \(MNC\), ta có :

\(M{N^2} = M{C^2} + N{C^2}\) (định lý Py-ta-go)

\( \Leftrightarrow M{N^2} = B{M^2} + N{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{N^2} = {3^2} + {1^2} = 10\\ \Rightarrow MN = \sqrt {10} \end{array}\)

Nửa chu vi tam giác \(AMN\) là : \(p = \dfrac{{AM + AN + MN}}{2}\)\( = \dfrac{{5 + 3\sqrt 5 + \sqrt {10} }}{2}\)

Diện tích tam giác \(AMN\) là : \({S_{\Delta AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)} = \dfrac{{15}}{2}\)

Ta có: \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\)\( \Rightarrow R = \dfrac{{abc}}{{4S}}\)\( = \dfrac{{5.3\sqrt 5 .\sqrt {10} }}{{4.\dfrac{{15}}{2}}}\)\( = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) là \(\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.