Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 10\). Gọi \(\left( I \right)\) là đường tròn có tâm \(I\) thuộc cạnh
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 10\). Gọi \(\left( I \right)\) là đường tròn có tâm \(I\) thuộc cạnh \(BC\), tiếp xúc với các cạnh \(AB,\,\,AC\). Biết \(\left( I \right)\) có bán kính bằng \(3\) và \(2IB = 3IC\), tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+ Sử dụng định lý tính chất đường phân giác và định lý cosin trong tam giác để tìm độ dài hai cạnh \(AB\) và \(AC\).
+ Áp dụng định lý sin để xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Theo giả thiết, ta có: \(BC = 10\) và \(2IB = 3IC\). Suy ra, \(IB = 6,\,\,IC = 4\).
Giả sử \(\left( I \right)\) tiếp xúc với các cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\).
\( \Rightarrow IM \bot AB,\,\,IN \bot AC\).
Xét tam giác \(IMB\), ta có :
\(\sin B = \dfrac{{IM}}{{BM}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}B = 1 - {\sin ^2}B = 1 - \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow \cos B = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
Xét tam giác \(INC\), ta có :
\(\sin C = \dfrac{{IN}}{{IC}} = \dfrac{3}{4}\)
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}C = 1 - {\sin ^2}C = 1 - \dfrac{9}{{16}}\\ \Rightarrow \cos \,C = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\end{array}\)
Vì \(AI\) là tia phân giác \(\angle BAC\) nên \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BI}}{{IC}} = \dfrac{6}{4}\)\( \Rightarrow 2AB = 3AC\) \( \Rightarrow AB = \dfrac{3}{2}AC\) \(\left( 1 \right)\)
Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\) ta được: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - \)\(2.AC.BC.\cos C\)
Thế \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\), ta được :
\({\left( {\dfrac{{3AC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} - \) \(100 + 5\sqrt 7 AC = 0\)
\( \Leftrightarrow AC = 2\left( {3\sqrt 3 - \sqrt 7 } \right)\)
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\dfrac{{AC}}{{\sin C}} = 2R\)\( \Rightarrow R = \dfrac{{AC}}{{2\sin B}}\)\( = 2\left( {3\sqrt 3 - \sqrt 7 } \right)\)
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
