Biết rằng \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \) với \(a,\,\,b,\,\,c\)

Câu hỏi số 457146:

Thông hiểu

Biết rằng \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Tính \(2a + 3b - 4c.\)

A. \( - 5\)

B. \( - 19\)

C. \(5\)

D. \(19\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:457146

Phương pháp giải

- Chia tử cho mẫu để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng đa thức + phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.

- Phân tích mẫu thành nhân tử, biến đổi để xuất hiện các tích phân dạng \(\int\limits_1^2 {\dfrac{k}{{ax + b}}dx} \).

- Tính tích phân và tìm \(a,\,\,b,\,\,c\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1 + \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x}}} \right)dx} \\ = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\dfrac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} \\ = \dfrac{1}{2} + I\end{array}\)

Giả sử \(\dfrac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{B}{x} + \dfrac{C}{{x + 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{B\left( {x + 1} \right) + Cx}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {B + C} \right)x + B}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B + C = 1\\B = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = - 1\\C = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} + \int\limits_1^2 {\dfrac{2}{{x + 1}}dx} \\\,\,\,\, = \left. { - \ln \left| x \right|} \right|_1^2 + \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_1^2\\\,\,\,\, = - \ln 2 + 2\ln 3 - 2\ln 2\\\,\,\,\, = 2\ln 3 - 3\ln 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \dfrac{1}{2} + 2\ln 3 - 3\ln 2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 2\\c = - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(2a + 3b - 4c = 2.\dfrac{1}{2} + 3.2 - 4.\left( { - 3} \right) = 19\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.