Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 3 = 0.\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 457153: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 3 = 0.\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\cos \alpha = - \dfrac{4}{9}\)

B. \(\sin \alpha = \dfrac{4}{9}\)

C. \(\cos \alpha = \dfrac{4}{9}\)

D. \(\sin \alpha = - \dfrac{4}{9}\)

Câu hỏi : 457153

Phương pháp giải:

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\Delta \), khi đó ta có \(\sin \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\), với \(\overrightarrow {{n_p}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} \) lần lượt là 1 vtpt của \(\left( P \right)\) và vtcp của \(\Delta \).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 3 = 0\) có 1 vtpt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;2} \right)\), đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) có 1 vtcp là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {2.1 - 1.2 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{4}{9}\).

\( \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \dfrac{{\sqrt {65} }}{9}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.