Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf'\left( x \right) + \left( {x

Câu hỏi số 457172:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf'\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) = {e^{ - x}}\) với mọi \(x\). Tính \(f'\left( 0 \right)\).

A. \(1\)

B. \( - 1\)

C. \(\dfrac{1}{e}\)

D. \(e\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:457172

Phương pháp giải

- Nhận thấy \(\left( {x + 1} \right){e^x} = \left( {x{e^x}} \right)'\). Sử dụng công thức \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế để tìm \(f\left( x \right)\).

- Tính \(f'\left( x \right)\) và tính \(f'\left( 0 \right)\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có \(xf'\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) = {e^{ - x}}\) \( \Leftrightarrow x{e^x}f'\left( x \right) + \left( {x + 1} \right){e^x}f\left( x \right) = 1\).

Ta có \(\left( {x{e^x}} \right)' = {e^x} + x{e^x} = \left( {x + 1} \right){e^x}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x{e^x}f'\left( x \right) + \left( {x{e^x}} \right)'f\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left[ {x{e^x}f\left( x \right)} \right]' = 1\\ \Leftrightarrow \int {\left[ {x{e^x}f\left( x \right)} \right]'dx} = \int {dx} \\ \Leftrightarrow x{e^x}f\left( x \right) = x + C\end{array}\)

Thay \(x = 0\) ta có \(0 = 0 + C \Leftrightarrow C = 0\), do đó \(x{e^x}f\left( x \right) = x \Leftrightarrow x\left[ {{e^x}f\left( x \right) - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{e^x}}} = {e^{ - x}}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = - {e^{ - x}} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = - {e^0} = - 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.