Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy là \(2a\) và khoảng cách từ điểm
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy là \(2a\) và khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(a\). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Xác định góc từ điểm \(A\) đến \(\left( {A'BC} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(A'A\).
- Tính thể tích \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{\Delta ABC}}\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'BC} \right)\).
Trong \(\left( {A'BC} \right)\) kẻ \(AH \bot A'M\,\,\left( {H \in A'M} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot A'M\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = a\).
Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a\) nên \(AM = 2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) và \({S_{\Delta ABC}} = {\left( {2a} \right)^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AA'M\) ta có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A'{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{A'{A^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{A'{A^2}}} = \dfrac{2}{{3{a^2}}} \Rightarrow A'A = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
