Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy là \(2a\) và khoảng cách từ điểm
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy là \(2a\) và khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(a\). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Xác định góc từ điểm \(A\) đến \(\left( {A'BC} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(A'A\).
- Tính thể tích \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{\Delta ABC}}\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'BC} \right)\).
Trong \(\left( {A'BC} \right)\) kẻ \(AH \bot A'M\,\,\left( {H \in A'M} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot A'M\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = a\).
Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a\) nên \(AM = 2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) và \({S_{\Delta ABC}} = {\left( {2a} \right)^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AA'M\) ta có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A'{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{A'{A^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{A'{A^2}}} = \dfrac{2}{{3{a^2}}} \Rightarrow A'A = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
