Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = BC = 3a\), góc \(\angle SAB
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = BC = 3a\), góc \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(a\sqrt 6 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi \(I\) là trung điểm của \(SB\).
Vì \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\) nên \(IS = IA = IB = IC\), do đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\), bán kính \(R = IS = \dfrac{1}{2}SB\).
Xét \({\Delta _v}SAB\) và \({\Delta _v}SCB\) có \(AB = CB\,\left( {gt} \right),\,\,SB\) chung \( \Rightarrow {\Delta _v}SAB = {\Delta _v}SCB\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow SA = S \Rightarrow \Delta SAC\) cân tại \(S\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SM \bot AC\\BM \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBM} \right)\).
Trong \(\left( {SBM} \right)\) kẻ \(SH \bot BM\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot BM\\SH \bot AC\,\,\left( {AC \bot \left( {SBM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Đặt \(SA = SC = x\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(AC = AB\sqrt 2 = 3a\sqrt 2 \Rightarrow BM = AM = MC = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(SM = \sqrt {S{C^2} - M{C^2}} = \sqrt {{x^2} - \dfrac{{9{a^2}}}{2}} \) ; \(SB = \sqrt {B{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + {x^2}} \).
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SBM\) ta có \(p = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - \dfrac{{9{a^2}}}{2}} + \sqrt {9{a^2} + {x^2}} + \dfrac{{9{a^2}}}{2}}}{2}\).
Diện tích tam giác \(SBM\) là: \({S_{SBM}} = \sqrt {p\left( {p - SM} \right)\left( {p - SB} \right)\left( {p - BM} \right)} \)
Khi đó ta có \(SH = \dfrac{{2{S_{\Delta SBM}}}}{{BM}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\\ \Rightarrow SH.{S_{\Delta ABC}} = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{S_{\Delta SBM}}}}{{BM}}.\dfrac{1}{2}.3a.3a = a\sqrt 6 .\dfrac{1}{2}.3a.x\\ \Leftrightarrow x = 3\sqrt 3 a\end{array}\)
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(SB = \sqrt {S{C^2} + B{C^2}} = \sqrt {27{a^2} + 9{a^2}} = 6a \Rightarrow R = IS = 3a\).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .9{a^2} = 36\pi {a^2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
