Hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\) khi và chỉ khi:

Câu 457598: Hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\) khi và chỉ khi:

A. \(m \ge 1\)

B. \(1 < m < 3\)

C. \(m > 3\)

D. \(m \ge 3\)

Câu hỏi : 457598

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) và tìm nghiệm.

- Chứng minh \({\Delta _{y'}} \ge 0\,\,\forall m\).

- Xét 2 TH:

+ \({\Delta _{y'}} = 0\), suy ra dấu của \(y'\) và kết luận.

+ \({\Delta _{y'}} > 0\), suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\). Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\) thì \(\left( {1;3} \right) \subset \left( {{x_1};{x_2}} \right)\), từ đó tìm \(m\).

Đáp án : D
(10) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m\).

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\).

Ta có \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\).

+ Với \(m = 1\) ta có \(y' = 6{x^2} - 12x + 6 = 6{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\) (loại).

+ Với \(m \ne 1 \Rightarrow \Delta > 0\,\,\forall m\), suy ra phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{m + 1 + m - 1}}{2} = m\\{x_2} = \frac{{m + 1 - m + 1}}{2} = 1\end{array} \right.\).

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào BXD ta thấy để hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\) \( \Rightarrow \left( {1;3} \right) \subset \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {1;3} \right) \subset \left( {1;m} \right)\\\left( {1;3} \right) \subset \left( {m;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 \le 1 < 3 \le m\\m \le 1 < 3 \le 1\,\,\left( {Loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 3\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m \ge 3\).

Chọn D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.