Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) và \(N\) lần

Câu hỏi số 458078:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(AC\) và \(CF\).

a) Chứng minh rằng: \(CF.CM = CE.CN\)

b) Gọi \(Q\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(AB\). Chứng minh rằng: \(QM\,{\rm{//}}\,EF\)

c) Gọi \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(BE\). Chứng minh rằng: bốn điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458078

Phương pháp giải

a) Để chứng minh \(CF.CM = CE.CN\) ta chứng minh \(\dfrac{{CE}}{{CM}} = \dfrac{{CF}}{{CN}}\) (cùng bằng \(\dfrac{{BC}}{{DC}}\)).

b) Áp dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh \(EF\,{\rm{//}}\,MQ\) - Chứng minh \(\dfrac{{AF}}{{FQ}} = \dfrac{{AE}}{{EM}}\) (cùng bằng \(\dfrac{{AH}}{{HD}}\)).

c) Chứng minh: Ba điểm \(M,\,\,N,\,\,Q\) thẳng hàng; \(M,\,\,Q,\,\,P\) thẳng hàng (Áp dụng định lý Ta-lét đảo và tiên đề Ơ-clit)

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng: \(CF.CM = CE.CN\)

Xét \(\Delta BCE\) và \(\Delta DCM\) có:

\(\angle BEC = \angle DMC = {90^0}\)

\(\angle C\) chung

\( \Rightarrow \Delta BCE \sim \Delta DCM\) (góc – góc)

\( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{DC}} = \dfrac{{CE}}{{CM}}\) (Tỷ số cặp cạnh tương ứng) \(\;\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta BCF\) và \(\Delta DCN\) có:

\(\angle DNC = \angle BFC = {90^0}\)

\(\angle C\) chung

\( \Rightarrow \Delta BCF \sim \Delta DCN\) (góc – góc).

\( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{DC}} = \dfrac{{CF}}{{CN}}\) (Tỷ số cặp cạnh tương ứng) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\;\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(\dfrac{{CE}}{{CM}} = \dfrac{{CF}}{{CN}}\left( { = \dfrac{{BC}}{{DC}}} \right)\)

\( \Rightarrow CF.CM = CE.CN\)\(\left( {dpcm} \right)\)

b) Gọi \(Q\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(AB\). Chứng minh rằng: \(QM\,{\rm{//}}\,EF\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}FH \bot AQ\\DQ \bot AQ\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow FH\,{\rm{//}}\,DQ\) (quan hệ từ vuông góc đến song song).

\(\left. \begin{array}{l}HE \bot AC\\DM \bot AC\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow HE\,{\rm{//}}\,DM\)(quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét \(\Delta AQD\) có \(FH\,{\rm{//}}\,QD\), áp dụng định lý Ta-lét ta có: \(\dfrac{{AF}}{{FQ}} = \dfrac{{AH}}{{HD}}\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta AMD\) có \(FE\,{\rm{//}}\,DM\), áp dụng định lý Ta-lét ta có: \(\dfrac{{AH}}{{HD}} = \dfrac{{AE}}{{EM}}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\dfrac{{AF}}{{FQ}} = \dfrac{{AE}}{{EM}}\left( { = \dfrac{{AH}}{{HD}}} \right)\).

Xét \(\Delta AQM\) có \(\dfrac{{AF}}{{FQ}} = \dfrac{{AE}}{{EM}}\,\) (chứng minh trên).

\( \Rightarrow \) \(EF\,{\rm{//}}\,MQ\) (định lý Ta-lét đảo).

c) Gọi \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(BE\). Chứng minh rằng: bốn điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng.

*) Chứng minh ba điểm \(M,\,\,N,\,\,Q\) thẳng hàng.

Theo câu \(a)\) ta có:\(\dfrac{{CE}}{{CM}} = \dfrac{{CF}}{{CN}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CE}} = \dfrac{{CN}}{{CF}}\).

Xét \(\Delta CEF\) có \(\dfrac{{CM}}{{CE}} = \dfrac{{CN}}{{CF}}\)\( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,EF\) (định lý Ta-lét đảo).

Ta lại có \(MQ\,{\rm{//}}\,EF\) (chứng minh trên).

\( \Rightarrow \) Ba điểm \(M,\,\,N,\,\,Q\) thẳng hàng (tiên đề Ơ-Clit).

*) Chứng minh ba điểm \(M,\,\,Q,\,\,P\) thẳng hàng.

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}DQ \bot AB\\CF \bot AB\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow DQ\,\,{\rm{//}}\,CF\)(quan hệ từ vuông góc đến song song).

\(\left. \begin{array}{l}DP \bot BE\\CE \bot BE\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow DP\,{\rm{//}}\,CE\)(quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét \(\Delta BFC\) có \(DQ\,\,{\rm{//}}\,CF\), áp dụng định lý Ta-let ta có: \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{BQ}}{{QF}}\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta BEC\) có \(DP\,\,{\rm{//}}\,CE\), áp dụng định lý Ta-let ta có: \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{BP}}{{PE}}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{BQ}}{{QF}} = \dfrac{{BP}}{{PE}}\).

Xét \(\Delta BFE\) có \(\dfrac{{BQ}}{{QF}} = \dfrac{{BP}}{{PE}}\) suy ra \(PQ\,{\rm{//}}\,EF\) (định lý Ta-lét đảo).

Ta lại có \(MQ\,{\rm{//}}\,EF\) nên ba điểm \(M,\,\,Q,\,\,P\) thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit).

Mà ba điểm \(M,\,\,N,\,\,Q\) thẳng hàng nên bốn điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link