(Dành cho lớp 8A)

Cho các số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)

Câu 458079: (Dành cho lớp 8A)

Cho các số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)

A. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)

B. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)

C. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\)

Câu hỏi : 458079

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Biến đổi, phân tích để biểu thức \(P\) thành nhân tử để chứng minh được \(P \ge 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số thực không âm \(a\) và \(c\). Biến đổi để đưa biểu thức \(P\) biểu diễn qua \(b\). Từ đó suy ra được \(P \le \dfrac{1}{4}\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\).

\(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{a + b + c + b}}\) \( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {a + c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right) + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}} \ge 0\)

\( \Rightarrow P \ge 0\) với mọi số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\).

Chọn \(a = b = 0,\,\,c = 1\).

Suy ra, \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = 0\\c = 1\end{array} \right.\).

*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm \(a\) và \(c\) ta được:

\(a + c \ge 2ac\)\( \Leftrightarrow ac \le \dfrac{{a + c}}{2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = c\).

Ta có:

\(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{a + b + c + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}}\),

\( \Rightarrow P = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}}\)\( \le \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + {{\left( {\dfrac{{a + c}}{2}} \right)}^2}} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + \dfrac{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}}{4}} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right){{\left( {1 + b} \right)}^2}}}{{4\left( {1 + b} \right)}}\)\( = \dfrac{{1 - {b^2}}}{4} \le \dfrac{1}{4}\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c\\a + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.