(Dành cho lớp 8A) Cho các số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị

Câu hỏi số 458079:

Vận dụng cao

(Dành cho lớp 8A)

Cho các số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)

A. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)

B. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)

C. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458079

Phương pháp giải

Biến đổi, phân tích để biểu thức \(P\) thành nhân tử để chứng minh được \(P \ge 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số thực không âm \(a\) và \(c\). Biến đổi để đưa biểu thức \(P\) biểu diễn qua \(b\). Từ đó suy ra được \(P \le \dfrac{1}{4}\).

Giải chi tiết

*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\).

\(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{a + b + c + b}}\) \( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {a + c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right) + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}} \ge 0\)

\( \Rightarrow P \ge 0\) với mọi số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\).

Chọn \(a = b = 0,\,\,c = 1\).

Suy ra, \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = 0\\c = 1\end{array} \right.\).

*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm \(a\) và \(c\) ta được:

\(a + c \ge 2ac\)\( \Leftrightarrow ac \le \dfrac{{a + c}}{2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = c\).

Ta có:

\(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{a + b + c + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}}\),

\( \Rightarrow P = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}}\)\( \le \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + {{\left( {\dfrac{{a + c}}{2}} \right)}^2}} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + \dfrac{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}}{4}} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right){{\left( {1 + b} \right)}^2}}}{{4\left( {1 + b} \right)}}\)\( = \dfrac{{1 - {b^2}}}{4} \le \dfrac{1}{4}\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c\\a + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link