Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

(Dành cho lớp 8A)

Cho các số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)

Câu 458079: (Dành cho lớp 8A)


Cho các số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


\(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)

A. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)

B. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)

C. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\)

Câu hỏi : 458079

Phương pháp giải:

Biến đổi, phân tích để biểu thức \(P\) thành nhân tử để chứng minh được \(P \ge 0\).


Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số thực không âm \(a\) và \(c\). Biến đổi để đưa biểu thức \(P\) biểu diễn qua \(b\). Từ đó suy ra được \(P \le \dfrac{1}{4}\).

  • Đáp án : D
    (0) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    *) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\).

    \(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{a + b + c + b}}\) \( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {a + c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right) + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}} \ge 0\)

    \( \Rightarrow P \ge 0\) với mọi số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\).

    Chọn \(a = b = 0,\,\,c = 1\).

    Suy ra, \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = 0\\c = 1\end{array} \right.\).

    *) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\).

    Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm \(a\) và \(c\) ta được:

    \(a + c \ge 2ac\)\( \Leftrightarrow ac \le \dfrac{{a + c}}{2}\)

    Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = c\).

    Ta có:

    \(P = \dfrac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{a + b + c + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}}\),

    \( \Rightarrow P = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}}\)\( \le \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + {{\left( {\dfrac{{a + c}}{2}} \right)}^2}} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + \dfrac{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}}{4}} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \dfrac{{\left( {1 - b} \right){{\left( {1 + b} \right)}^2}}}{{4\left( {1 + b} \right)}}\)\( = \dfrac{{1 - {b^2}}}{4} \le \dfrac{1}{4}\).

    Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c\\a + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

    Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

    Chọn D.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com