(Dành cho lớp 8B, 8C, 8D, 8E) Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Tìm

Câu hỏi số 458080:

Vận dụng cao

(Dành cho lớp 8B, 8C, 8D, 8E)

Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = ab + bc + ca\).

A. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)

C. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \dfrac{1}{2}\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)

D. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \dfrac{1}{2}\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458080

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + ac + bc\).

Giải chi tiết

*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca\).

Với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge - 2ab - 2bc - 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge - 2\left( {ab + bc + ac} \right)\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le ab + bc + ac\end{array}\)

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(P = ab + bc + ca\) nên \(P \ge - \dfrac{1}{2}\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\end{array} \right.\).

Chọn \(a = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,b = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,c = 0\).

Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \dfrac{1}{2}\) khi \(a = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,b = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,c = 0\).

*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca\).

Với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} - 2ac + {c^2} + {b^2} - 2bc + {c^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2ac + 2bc\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + ac + bc\end{array}\)

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(P = ab + bc + ca\) nên \(P \le 1\) với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = b = c\).

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra \({a^2} = {b^2} = {c^2} = \dfrac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link