(Dành cho lớp 8B, 8C, 8D, 8E)
Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = ab + bc + ca\).
Câu 458080: (Dành cho lớp 8B, 8C, 8D, 8E)
Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = ab + bc + ca\).
A. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)
\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\)
B. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\)
\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)
C. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \dfrac{1}{2}\)
\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\)
D. \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \dfrac{1}{2}\)
\(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\)
Sử dụng BĐT: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + ac + bc\).
-
Đáp án : C(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca\).
Với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge - 2ab - 2bc - 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge - 2\left( {ab + bc + ac} \right)\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le ab + bc + ac\end{array}\)
Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(P = ab + bc + ca\) nên \(P \ge - \dfrac{1}{2}\).
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\end{array} \right.\).
Chọn \(a = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,b = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,c = 0\).
Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \dfrac{1}{2}\) khi \(a = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,b = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,c = 0\).
*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca\).
Với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} - 2ac + {c^2} + {b^2} - 2bc + {c^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2ac + 2bc\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + ac + bc\end{array}\)
Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(P = ab + bc + ca\) nên \(P \le 1\) với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\).
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = b = c\).
Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra \({a^2} = {b^2} = {c^2} = \dfrac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
