Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) cắt

Câu hỏi số 458097:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cắt \(AH\) tại \(E\).

a) Chứng minh: \(\Delta ABC\) đồng dạng \(\Delta HBA\) và \(A{B^2} = BC.BH\).

b) Biết \(AB = 9cm,\,\,BC = 15cm\). Tính \(DC\) và \(AD\).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(ED\). Chứng minh: \(\widehat {BIH} = \widehat {ACB}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458097

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc để suy ra các tỉ số bằng nhau \(\left( {\dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}} \right)\) từ đó suy ra đẳng thức \(A{B^2} = BC.BH\).

b) Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác, dùng phương pháp thế để tìm được \(DC\) và \(AD\).

c) Chứng minh \(\widehat {BIH}\) và \(\widehat {ACB}\) cùng bằng \(\widehat {BAH}\): Sử dụng hai góc phụ nhau, chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.

Giải chi tiết

a) Chứng minh: \(\Delta ABC\) đồng dạng \(\Delta HBA\) và \(A{B^2} = BC.BH\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) ta có:

\(\widehat B\) chung

\(\widehat {BAC} = \widehat {BHA}\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA\) (góc-góc)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}\) (Tỷ số cặp cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow AB.BA = HB.BC\)

\( \Rightarrow A{B^2} = BC.BH\) (đpcm)

b) Biết \(AB = 9cm,\,\,BC = 15cm\). Tính \(DC\) và \(AD\).

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {15^2} - {9^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = 144\\ \Leftrightarrow AC = 12\left( {cm} \right)\end{array}\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(BD\) là đường phân giác của góc \(ABC\). Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ta có:

\(\dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{DC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{9}{{15}} = \dfrac{{AD}}{{DC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{3}{5}\)\( \Rightarrow AD = \dfrac{3}{5}DC\).

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}AD + DC = AC\\ \Leftrightarrow AD + DC = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{5}DC + DC = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{8}{5}DC = 12\\ \Leftrightarrow DC = 7,5\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AD = AC - DC\\ \Leftrightarrow AD = 12 - 7,5 = 4,5\end{array}\)

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(ED\). Chứng minh: \(\widehat {BIH} = \widehat {ACB}\).

Vì \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {BDA} + \widehat {ABD} = {90^0}\).

Vì \(\Delta BEH\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {EBH} + \widehat {BEH} = {90^0}\).

Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {EBH}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)).

Suy ra, \(\widehat {BDA} = \widehat {BEH}\).

Ta lại có: \(\widehat {AED} = \widehat {BEH}\) (hai góc đối đỉnh).

\( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {BDA}\) (cùng bằng \(\widehat {BEH}\)) hay \(\widehat {AED} = \widehat {ADE}\).

\( \Rightarrow \Delta AED\) cân tại \(A\).

Mà \(I\) là trung điểm của \(ED\) nên \(AI \bot BD\) tại \(I\).

Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta AEI\) có:

\(\widehat {BHE} = \widehat {EIA}\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\).

\(\widehat {BEH} = \widehat {AEI}\) (hai góc đối đỉnh).

\( \Rightarrow \Delta BEH \sim \Delta AEI\) (góc-góc).

\( \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{AE}} = \dfrac{{EH}}{{EI}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{HE}}{{BE}} = \dfrac{{EI}}{{EA}}\).

Xét \(\Delta HEI\) và \(\Delta BEA\) có:

\(\widehat {HEI} = \widehat {BEA}\) (hai góc đối đỉnh).

\(\dfrac{{HE}}{{BE}} = \dfrac{{EI}}{{EA}}\) (chứng minh trên).

\( \Rightarrow \Delta HEI \sim \Delta BEA\) (cạnh-góc-cạnh).

\( \Rightarrow \widehat {EIH} = \widehat {EAB}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {BIH} = \widehat {BAH}\) \(\left( 1 \right)\)

Ta lại có:

\(\left. \begin{array}{l}\widehat {BAH} + \widehat {ABH} = {90^0}\\\widehat {ABH} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {BIH} = \widehat {ACH}\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link