Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng \(100N/m,\) đầu trên lò xo cố định,

Câu hỏi số 458973:

Vận dụng cao

Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng \(100N/m,\) đầu trên lò xo cố định, đầu dưới gắn vật nhỏ có khối lượng \(400g.\) Kích thích để con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình thẳng đứng, chọn mốc thế năng trùng với vị trí cân bằng của vật. Tại thời điểm \(t\left( s \right)\), con lắc có thế năng \(356mJ,\) tại thời điểm \(t + 0,05\left( s \right)\) con lắc có động năng \(288mJ,\) cơ năng của con lắc không lớn hơn \(1J.\) Lấy \({\pi ^2} = 10\). Trong 1 chu kì dao động, khoảng thời gian lò xo nén là

A. \(\dfrac{1}{3}s\)

B. \(\dfrac{2}{{15}}s\)

C. \(\dfrac{3}{{10}}s\)

D. \(\dfrac{4}{{15}}s\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458973

Phương pháp giải

+ Sử dụng biểu thức tính chu kì: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)

+ Sử dụng biểu thức tính cơ năng: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{{\rm{A}}^2} = {{\rm{W}}_t} + {{\rm{W}}_d}\)

+ Sử dụng biểu thức tính độ dãn của lò xo tại VTCB: \(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k}\)

+ Sử dụng biểu thức tính thời gian lò xo nén trong một chu kì: \({t_{nen}} = \dfrac{{2\alpha }}{\omega }\) với \(cos\alpha = \dfrac{{\Delta {l_0}}}{A}\)

Giải chi tiết

Ta có:

+ Chu kì dao động: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} = 0,4{\rm{s}}\)

+ Tại thời điểm t:

\({x_1} = Acos\varphi \Rightarrow {W_{{t_1}}} = \dfrac{{kx_1^2}}{2} = \dfrac{{k{A^2}}}{2}co{s^2}\varphi = 0,256J\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{k{A^2}}}{2}\dfrac{{1 + cos2\varphi }}{2} = 0,256J\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ Tại thời điểm \(t{\rm{ }} + {\rm{ }}0,05s = t + \dfrac{T}{8}\):

\(\begin{array}{l}{x_2} = Acos\left( {\varphi + \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ \Rightarrow {W_{{t_2}}} = W - {W_{{d_2}}} = \dfrac{1}{2}k{A^2} - {W_{{d_2}}} = \dfrac{{k{A^2}}}{2}co{s^2}\left( {\varphi + \dfrac{\pi }{4}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{k{A^2}}}{2} - 0,288 = \dfrac{{k{A^2}}}{2}{\left( {cos\varphi .cos\dfrac{\pi }{4} - \sin \varphi .\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{k{A^2}}}{2} - 0,288 = \dfrac{{k{A^2}}}{2}\dfrac{1}{2}{\left( {cos\varphi - \sin \varphi } \right)^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{k{A^2}}}{2} - 0,288 = \dfrac{{k{A^2}}}{4}\left( {1 - \sin 2\varphi } \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{k{{\rm{A}}^2}}}{4}\left( {1 + co{\rm{s2}}\varphi } \right) = 0,256\\\dfrac{{k{{\rm{A}}^2}}}{4}\left( {1 + \sin 2\varphi } \right) = 0,288\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{1 + \sin 2\varphi }}{{1 + co{\rm{s2}}\varphi }} = \dfrac{{0,288}}{{0,256}} = \dfrac{9}{8}\\ \Rightarrow 1 + 9co{\rm{s2}}\varphi = 8\sin 2\varphi \\ \Leftrightarrow {\left( {1 + 9co{\rm{s2}}\varphi } \right)^2} = {\left( {8\sin 2\varphi } \right)^2} = 64\left( {1 - co{s^2}2\varphi } \right)\\ \Leftrightarrow 145co{{\rm{s}}^2}2\varphi + 18co{\rm{s2}}\varphi {\rm{ - 63 = 0}}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}co{\rm{s2}}\varphi = \dfrac{3}{5} \Rightarrow {\rm{W}} = 0,32J\left( {tm} \right)\\co{\rm{s2}}\varphi = \dfrac{{ - 21}}{{29}} \Rightarrow {\rm{W}} = 1,856\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({\rm{W}} = 0,32J = \dfrac{1}{2}k{{\rm{A}}^2} \Rightarrow A = 0,08m\)

Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng:

\(\Delta {l_0} = \dfrac{{mg}}{k} = 0,04m\)

Thời gian lò xo nén trong một chu kì:

\({t_{nen}} = \dfrac{{2\alpha }}{\omega }\) với \(cos\alpha = \dfrac{{\Delta {l_0}}}{A} = \dfrac{{0,04}}{{0,08}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \dfrac{\pi }{3}\)

\( \Rightarrow {t_{nen}} = \dfrac{{2\dfrac{\pi }{3}}}{{5\pi }} = \dfrac{2}{{15}}s\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.