Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Tính giới hạn của \(\left( {{u_n}} \right)\) với:

Tính giới hạn của \(\left( {{u_n}} \right)\) với:

Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4, 5 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 2} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:460286
Phương pháp giải

Sử dụng định lí kẹp.

Giải chi tiết

\({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 2} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }}\)

Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có: \(n\dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }} \le {u_n} \le n.\dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 1} }}\).

Lại có \(\lim \dfrac{n}{{\sqrt {{n^3} + 1} }} = \lim \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }} = 0\)

Do đó theo định lí kẹp, ta có \(\lim {u_n} = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{n + \sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{n + \sqrt n }}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:460287
Phương pháp giải

Sử dụng định lí kẹp.

Giải chi tiết

\({u_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{n + \sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{n + \sqrt n }}\)

Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có: \(n\dfrac{1}{{n + \sqrt n }} \le {u_n} \le n.\dfrac{1}{{n + \sqrt 1 }}\).

Lại có \(\lim \dfrac{n}{{n + \sqrt n }} = \lim \dfrac{n}{{n + \sqrt 1 }} = 1\)

Do đó theo định lí kẹp, ta có \(\lim {u_n} = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{{n\sqrt {1 + 2 + 3 + ... + n} }}{{{n^2} + n + 1}}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:460288
Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của CSC, CSN tính tổng của mẫu và tử của từng dãy số, sau đó tính giới hạn của dãy số.

Giải chi tiết

Ta có: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{n\sqrt {1 + 2 + 3 + ... + n} }}{{{n^2} + n + 1}} = \dfrac{{n\sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} }}{{{n^2} + n + 1}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{n\sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} }}{{{n^2} + n + 1}} = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2n}}} }}{{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 4:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{2}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:460289
Phương pháp giải

Quy đồng và cộng, sau đó sử dụng công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của CSC, CSN tính tổng của mẫu và tử của từng dãy số, sau đó tính giới hạn của dãy số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{2}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + \left( {n - 1} \right)}}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}}}{{{n^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{n^2} - n}}{{2{n^2} + 2}}\end{array}\)

Khi đó ta có \(\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - n}}{{2{n^2} + 2}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{1}{n}}}{{2 + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 5:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{{{{2.1}^2} + {{3.2}^2} + ... + \left( {n + 1} \right){n^2}}}{{{n^4}}}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:460290
Phương pháp giải

Phân tích, sử dụng các công thức \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {\left( {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2}\); \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\). Sau đó tính giới hạn.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{{{{2.1}^2} + {{3.2}^2} + ... + \left( {n + 1} \right){n^2}}}{{{n^4}}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{{n^4}}}\end{array}\)

Ta có \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {\left( {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2}\); \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)  

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{\dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}}}{{{n^4}}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{6n}}}}{1} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →