Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Tính giới hạn của \(\left( {{u_n}} \right)\) với:

Tính giới hạn của \(\left( {{u_n}} \right)\) với:

Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4, 5 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 2} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:460286
Phương pháp giải

Sử dụng định lí kẹp.

Giải chi tiết

\({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 2} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }}\)

Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có: \(n\dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }} \le {u_n} \le n.\dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 1} }}\).

Lại có \(\lim \dfrac{n}{{\sqrt {{n^3} + 1} }} = \lim \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }} = 0\)

Do đó theo định lí kẹp, ta có \(\lim {u_n} = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{n + \sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{n + \sqrt n }}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:460287
Phương pháp giải

Sử dụng định lí kẹp.

Giải chi tiết

\({u_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{n + \sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{n + \sqrt n }}\)

Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có: \(n\dfrac{1}{{n + \sqrt n }} \le {u_n} \le n.\dfrac{1}{{n + \sqrt 1 }}\).

Lại có \(\lim \dfrac{n}{{n + \sqrt n }} = \lim \dfrac{n}{{n + \sqrt 1 }} = 1\)

Do đó theo định lí kẹp, ta có \(\lim {u_n} = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{{n\sqrt {1 + 2 + 3 + ... + n} }}{{{n^2} + n + 1}}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:460288
Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của CSC, CSN tính tổng của mẫu và tử của từng dãy số, sau đó tính giới hạn của dãy số.

Giải chi tiết

Ta có: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{n\sqrt {1 + 2 + 3 + ... + n} }}{{{n^2} + n + 1}} = \dfrac{{n\sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} }}{{{n^2} + n + 1}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{n\sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} }}{{{n^2} + n + 1}} = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2n}}} }}{{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 4:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{2}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:460289
Phương pháp giải

Quy đồng và cộng, sau đó sử dụng công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của CSC, CSN tính tổng của mẫu và tử của từng dãy số, sau đó tính giới hạn của dãy số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{2}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + \left( {n - 1} \right)}}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}}}{{{n^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{n^2} - n}}{{2{n^2} + 2}}\end{array}\)

Khi đó ta có \(\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - n}}{{2{n^2} + 2}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{1}{n}}}{{2 + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 5:
Vận dụng

\({u_n} = \dfrac{{{{2.1}^2} + {{3.2}^2} + ... + \left( {n + 1} \right){n^2}}}{{{n^4}}}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:460290
Phương pháp giải

Phân tích, sử dụng các công thức \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {\left( {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2}\); \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\). Sau đó tính giới hạn.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{{{{2.1}^2} + {{3.2}^2} + ... + \left( {n + 1} \right){n^2}}}{{{n^4}}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{{n^4}}}\end{array}\)

Ta có \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {\left( {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2}\); \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)  

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{\dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}}}{{{n^4}}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{6n}}}}{1} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn