Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Tính giới hạn của \(\left( {{u_n}} \right)\) với:
Tính giới hạn của \(\left( {{u_n}} \right)\) với:
Câu 1: \({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 2} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }}\)
A. \(0\)
B. \(+\infty\)
C. \(-\infty\)
D. \(1\)
Sử dụng định lí kẹp.
-
Đáp án : A(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 2} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }}\)
Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có: \(n\dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }} \le {u_n} \le n.\dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + 1} }}\).
Lại có \(\lim \dfrac{n}{{\sqrt {{n^3} + 1} }} = \lim \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3} + n} }} = 0\)
Do đó theo định lí kẹp, ta có \(\lim {u_n} = 0\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Câu 2: \({u_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{n + \sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{n + \sqrt n }}\)
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(+\infty\)
D. \(-\infty\)
Sử dụng định lí kẹp.
-
Đáp án : B(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\({u_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{n + \sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{n + \sqrt n }}\)
Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có: \(n\dfrac{1}{{n + \sqrt n }} \le {u_n} \le n.\dfrac{1}{{n + \sqrt 1 }}\).
Lại có \(\lim \dfrac{n}{{n + \sqrt n }} = \lim \dfrac{n}{{n + \sqrt 1 }} = 1\)
Do đó theo định lí kẹp, ta có \(\lim {u_n} = 1\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Câu 3: \({u_n} = \dfrac{{n\sqrt {1 + 2 + 3 + ... + n} }}{{{n^2} + n + 1}}\)
A. \(-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(\sqrt2\)
D. \(-\sqrt2\)
Sử dụng công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của CSC, CSN tính tổng của mẫu và tử của từng dãy số, sau đó tính giới hạn của dãy số.
-
Đáp án : B(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{n\sqrt {1 + 2 + 3 + ... + n} }}{{{n^2} + n + 1}} = \dfrac{{n\sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} }}{{{n^2} + n + 1}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{n\sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} }}{{{n^2} + n + 1}} = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2n}}} }}{{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Câu 4: \({u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{2}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}\)
A. \(\dfrac{1}{2}\).
B. \(-\dfrac{1}{2}\).
C. \(2\)
D. \(-2\)
Quy đồng và cộng, sau đó sử dụng công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của CSC, CSN tính tổng của mẫu và tử của từng dãy số, sau đó tính giới hạn của dãy số.
-
Đáp án : A(13) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{2}{{{n^2} + 1}} + \dfrac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + \left( {n - 1} \right)}}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}}}{{{n^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{n^2} - n}}{{2{n^2} + 2}}\end{array}\)
Khi đó ta có \(\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - n}}{{2{n^2} + 2}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{1}{n}}}{{2 + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} = \dfrac{1}{2}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Câu 5: \({u_n} = \dfrac{{{{2.1}^2} + {{3.2}^2} + ... + \left( {n + 1} \right){n^2}}}{{{n^4}}}\)
A. \(4\)
B. \(-4\)
C. \(-\dfrac{1}{4}\)
D. \(\dfrac{1}{4}\)
Phân tích, sử dụng các công thức \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {\left( {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2}\); \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\). Sau đó tính giới hạn.
-
Đáp án : D(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{{{{2.1}^2} + {{3.2}^2} + ... + \left( {n + 1} \right){n^2}}}{{{n^4}}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{{n^4}}}\end{array}\)
Ta có \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {\left( {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2}\); \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{\dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}}}{{{n^4}}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{6n}}}}{1} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
