Với \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 = 55\), số hạng không chứa \(x\) trong khai

Câu hỏi số 460895:

Vận dụng

Với \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 = 55\), số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^3} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\) bằng:

A. \(80640\)

B. \(13440\)

C. \(322560\)

D. \(3360\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460895

Phương pháp giải

- Giải phương trình \(C_n^1 + C_n^2 = 55\) tìm \(n\), sử dụng công thức \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).

- Sử dụng khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}C_n^1 + C_n^2 = 55\,\,\left( {n \ge 2} \right)\\ \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 55\\ \Leftrightarrow 2n + {n^2} - n = 110\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 110 = 0\\ \Leftrightarrow n = 10\end{array}\)

Khi đó ta có:

\({\left( {{x^3} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{10 - k}}{{\left( {\dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{2^k}{x^{30 - 5k}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên ứng với \(30 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 6\).

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là \(C_{10}^6{2^6} = 13440\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.