Cho tam giác \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Trên cạnh
Cho tam giác \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Trên cạnh \(BC\) lần lượt lấy hai điểm \(D\) và \(E\) (\(D\) nằm giữa \(B\) và \(E\)) sao cho \(\angle DAB = \angle EAC\). Các tia \(AD\) và \(AE\) tương ứng cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(I\) và \(J\).
a) Chứng minh rằng: Phân giác của góc \(BAC\) đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ \(IJ\) của đường tròn \(\left( O \right)\).
b) Chứng minh rằng: Tứ giác \(BCJI\) là hình thang cân.
c) Kẻ tiếp tuyến \(xy\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(A\). Chứng minh rằng: Đường thẳng \(xy\) cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADE\).
Quảng cáo
a) Sử dụng định lý của góc nội tiếp. Giả sử phân giác của góc \(BAC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(H\).
Sau đó chứng minh .
b) Chứng minh hình thang cân bằng cách sử dụng dấu hiệu nhận biết: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
c) Xét đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ADE\) , chứng minh \(\angle xAD = \angle AED\) (bằng cách cộng góc)
a) Phân giác của góc \(BAC\) đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ \(IJ\) của đường tròn \(\left( O \right)\).
Xét đường tròn \(\left( O \right)\). Giả sử phân giác của góc \(BAC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(H\).
\( \Rightarrow \angle BAH = \angle CAH\)
\( \Rightarrow \angle BAI + \angle IAH = \angle CAJ + \angle JAH\)
Mà \(\angle BAI = \angle CAJ\) nên \(\angle IAH = \angle JAH\).
Ta có:
\(\angle IAH = \dfrac{1}{2}\)sđ (\(\angle IAH\) là góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(IH\))
\(\angle JAH = \dfrac{1}{2}\)sđ (\(\angle JAH\) là góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(JH\))
Mà \(\angle IAH = \angle JAH\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \) Điểm \(H\) nằm chính giữa cung nhỏ \(IJ\).
b) Tứ giác \(BCJI\) là hình thang cân.
Xét đường tròn \(\left( O \right)\), ta có:
\(OI = OJ\) (vì \(I\)và \(J\) cùng thuộc đường tròn tâm \(O\))
(liên hệ giữa cung và dây)
\( \Rightarrow OH\) là đường trung trực của \(IJ\).
\( \Rightarrow OH \bot IJ\) \(\left( 1 \right)\)
Vì \(AH\) là phân giác của \(\angle BAC\) nên \(\angle BAH = \angle CAH\).
\(\angle BAH = \dfrac{1}{2}\)sđ (\(\angle BAH\) là góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(BH\))
\(\angle CAH = \dfrac{1}{2}\)sđ (\(\angle CAH\) là góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(CH\))
Mà \(\angle BAH = \angle CAH\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow BH = CH\) (liên hệ giữa cung và dây)
Lại có \(OB = OC\) suy ra \(OH\) là đường trung trực của \(BC\).
\( \Rightarrow OH \bot BC\) \(\left( 2 \right)\)
Từ\(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(BC\,\,{\rm{//}}\,IJ\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BIJC\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết)
Ta có:
\(\angle IBC = \dfrac{1}{2}\)sđ(sđ + sđ)
\(\angle JCB = \dfrac{1}{2}\)sđ(sđ + sđ)
Mà , (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \angle IBC = \angle JCB\)
\( \Rightarrow \) \(BIJC\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)
c) Kẻ tiếp tuyến \(xy\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(A\). Chứng minh rằng: Đường thẳng \(xy\) cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADE\).
Ta có:
\(\angle xAD = \angle xAB + \angle BAD\)
\(\angle AED = \angle ECA + \angle CAE\) (\(\angle AED\) là góc ngoài của \(\Delta AEC\))
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
(góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(AB\))
Hay\(\angle xAB = \angle ECA\,\) \(\left( 1 \right)\)
Vì \(BCJI\) là hình thang nên \(BI = CJ\) (tính chất)
(liên hệ giữa cung và dây)
Lại có:
\(\angle BAD = \frac{1}{2}sd\,\,BI\) (góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(BI\))
\(\angle CAE = \frac{1}{2}sd\,\,CJ\) (góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(CJ\))
Mà (chứng minh trên) suy ra \(\angle BAD = \angle CAE\) \(\left( 2 \right)\)
Cộng \(\left( 1 \right)\)với \(\left( 2 \right)\), ta có : \(\angle xAB + \angle BAD = \angle ECA + \angle CAE\)
\( \Rightarrow \angle xAD = \angle AED\)
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(xy\) cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADE\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
