Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất và

Câu hỏi số 461393:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\).

A. \(\max P = 1\,;\,\,\min P = \dfrac{1}{3}\)

B. \(\max P = \dfrac{1}{3}\,;\,\,\min P = - 1\)

C. \(\max P = - \dfrac{1}{3}\,;\,\,\min P = - 1\)

D. \(\max P = 1\,;\,\,\min P = - \dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:461393

Phương pháp giải

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\): Biến đổi \(P\), khi đó ta có \(P = 1 - \left( {5ab + 2bc + 2ac} \right) \le 1\)

+) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\): Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(a\) và \(b\).

Giải chi tiết

Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\) nên \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\).

*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\)

\(\begin{array}{l}P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\\P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac - 2ab - 2bc - 2ac - 3ab\\P = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 5ab - 2bc - 2ac\\P = 1 - 5ab - 2bc - 2ac\\P = 1 - \left( {5ab + 2bc + 2ac} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow P \le 1\) với \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 1\\a = c = 0,\,\,b = 1\\b = c = 0,\,\,a = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(P\) đạt giá lớn nhất bằng 1 khi \(\left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 1\\a = c = 0,\,\,b = 1\\b = c = 0,\,\,a = 1\end{array} \right.\)

*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\)

\(\begin{array}{l}P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\\P = {a^2} - 2ab + {b^2} + {c^2} - ab\\P = {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - ab\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(a\) và \(b\) ta có:

\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\)\( \Leftrightarrow ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow - ab \ge - \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow - ab \ge - \dfrac{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P = {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - ab \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \dfrac{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \dfrac{1}{4}\left( {1 - 2c + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \dfrac{1}{4}{c^2} + \dfrac{1}{2}c - \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{c^2} + \dfrac{1}{2}c - \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\left( {{c^2} + \dfrac{2}{3}c} \right) - \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\left( {{c^2} + 2.c.\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9}} \right) - \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{\left( {c + \dfrac{1}{3}} \right)^2} - \dfrac{1}{3} \ge - \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\c + \dfrac{1}{3} = 0\\a + b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = \dfrac{2}{3}\\c = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(P\) đạt giá nhỏ nhất bằng \( - \dfrac{1}{3}\) khi \(a = b = \dfrac{2}{3}\), \(c = - \dfrac{1}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link