Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(S = \dfrac{1}{x} +

Câu hỏi số 461732:

Thông hiểu

Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}\) là

A. \(5\)

B. \(9\)

C. \(4\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:461732

Phương pháp giải

Biến đổi \(S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}\) về dạng \(S = 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x}\) sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y} = 1.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}} \right)\\ = \left( {x + y} \right).\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}} \right)\\ = 1 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} + 4 = 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x}\end{array}\)

Vì \(x,\,\,y\) là hai số thực dương nên \(\dfrac{{4x}}{y},\,\,\dfrac{y}{x}\)dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\dfrac{{4x}}{y}\) và \(\dfrac{y}{x}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2.\sqrt {\dfrac{{4x}}{y}.\dfrac{y}{x}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 4\\ \Leftrightarrow 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 9\\ \Leftrightarrow S \ge 9\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{y} = \dfrac{y}{x}\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} = {y^2}\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = y\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(\min S = 9\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3};\,y = \dfrac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10