Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\). Biết rằng \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) và đường thẳng \(BN\) có phương trình \(2x + 9y - 34 = 0\). Khi đó, tọa độ \(B\left( {a;\,\,b} \right),\,\,\left( {a < 0} \right)\). Tính \({a^2} + {b^2}\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \({\vec n_{AB}} = \left( {u;\,\,v} \right)\) với \({u^2} + {v^2} > 0\).
Chứng minh được: \(\cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AB}}.\,{{\vec n}_{BN}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AB}}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_{BN}}} \right|}}\) và \(\cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{BM}}{{BN}}\) để \(\dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AB}}.\,{{\vec n}_{BN}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AB}}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_{BN}}} \right|}} = \dfrac{{BM}}{{BN}}\)
Đường thẳng \(BN\) có phương trình \(2x + 9y - 34 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{BN}} = \left( {2;\,\,9} \right)\).
Gọi \({\vec n_{AB}} = \left( {u;\,\,v} \right)\) với \({u^2} + {v^2} > 0\).
\( \Rightarrow \cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AB}}.\,{{\vec n}_{BN}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AB}}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_{BN}}} \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {2a + 9b} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {9^2}} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {2a + 9b} \right|}}{{\sqrt {85} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}\) \(\left( 1 \right)\)
Xét tam giác \(BMN\) vuông tại \(M\) ta có:
\(B{N^2} = B{M^2} + M{N^2}\)\( = \dfrac{{A{B^2}}}{4} + A{B^2} = \dfrac{5}{4}A{B^2}\)\( \Rightarrow BN = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}AB\)
\(\cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{BM}}{{BN}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AB}}{{AB.\sqrt {\dfrac{5}{4}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left| {2u + 9v} \right|}}{{\sqrt {85} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {2u + 9v} \right)^2} = 17\left( {{u^2} + {v^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4{u^2} + 36uv + 81{v^2} = 17{u^2} + 17{v^2}\\ \Leftrightarrow 13{u^2} - 36uv - 64{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 13{u^2} - 52uv + 16uv - 64{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 13u\left( {u - 4v} \right) + 16b\left( {u - 4v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - 4v} \right)\left( {13u + 16v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u - 4v = 0\\13u + 16v = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4v\\13u = - 16v\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4v\\u = - \dfrac{{16}}{{13}}v\end{array} \right.\end{array}\)
Trường hợp 1: \(u = 4v\)\( \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {4v;\,\,v} \right) = \left( {4;\,\,1} \right)\)
PTTQ của đường thẳng đi qua \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( {4;\,\,1} \right)\) là VTPT có dạng là :
\(\begin{array}{l}4.\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x + y = 0\end{array}\)
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 34 = 0\\4x + y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 9y = 34\\4x + y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 4\end{array} \right.\,\left( {tm} \right)\)
\( \Rightarrow a = - 1,\,b = 4\)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {4^2} = 17\)
Trường hợp 2: \(u = - \dfrac{{16}}{{13}}v\)\( \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {u = - \dfrac{{16}}{{13}}v;\,\,v} \right)\)\( = \left( { - \dfrac{{16}}{{13}};\,\,1} \right)\)
PTTQ của đường thẳng đi qua \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( { - \dfrac{{16}}{{13}};\,\,1} \right)\) là VTPT có dạng là :
\(\begin{array}{l} - \dfrac{{16}}{{13}}.\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{16}}{{13}}x + y - \dfrac{{34}}{{13}} = 0\end{array}\)
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 34 = 0\\ - \dfrac{{16}}{{13}}x + y - \dfrac{{34}}{{13}} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 9y = 34\\ - \dfrac{{16}}{{13}}x + y = \dfrac{{34}}{{13}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{5}\\y = \dfrac{{18}}{5}\end{array} \right.\,\left( {ktm} \right)\)
\( \Rightarrow \) Loại
Đáp án cần chọn là: C
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
