Đặt \(f\left( n \right) = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} + 1\), xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao

Câu hỏi số 463614:

Vận dụng

Đặt \(f\left( n \right) = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} + 1\), xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} = \dfrac{{f\left( 1 \right).f\left( 3 \right).f\left( 5 \right)...f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( 2 \right).f\left( 4 \right).f\left( 6 \right)...f\left( n \right)}}\). Tìm \(\lim \left( {n\sqrt {{u_n}} } \right)\).

A. \(\lim \left( {n\sqrt {{u_n}} } \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

B. \(\lim \left( {n\sqrt {{u_n}} } \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

C. \(\lim \left( {n\sqrt {{u_n}} } \right) = \sqrt 2 \)

D. \(\lim \left( {n\sqrt {{u_n}} } \right) = \sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463614

Phương pháp giải

- Phân tích và đưa \(f\left( n \right)\) về dạng tích để phục vụ việc tính \(f\left( i \right),\,\,i = \overline {1;2k} \).

- Tính \({u_n}\).

- Tính \(\lim \left( {n\sqrt {{u_n}} } \right)\) bằng cách chia cả tử và mẫu cho \(n\) với số mũ lớn nhất.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( n \right) = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - n} \right]^2} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {n + 1} \right)^4} - 2n{\left( {n + 1} \right)^2} + {n^2} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {n + 1} \right)^4} - 2n\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + {n^2} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^4} - 4{n^2}} \right] - \left( {2{n^3} - {n^2} + 2n - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 2n} \right]\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 2n} \right] - \left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2n - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{n^2} + 1} \right)\left( {{n^2} + 4n + 1} \right) - \left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2n - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{n^2} + 1} \right)\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{n^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\end{array}\)

Khi đó ta có: \(f\left( {2k - 1} \right) = \left[ {{{\left( {2k - 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {4{k^2} + 1} \right)\) và \(f\left( {2k} \right) = \left( {4{k^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {2k + 1} \right)}^2} + 1} \right]\) .

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} = \dfrac{2}{{10}}.\dfrac{{10}}{{26}}.\dfrac{{26}}{{50}}...\dfrac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{2}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}}\\ \Rightarrow n\sqrt {{u_n}} = \dfrac{{\sqrt 2 n}}{{\sqrt {{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1} }}\end{array}\)

Vậy \(\lim n\sqrt {{u_n}} = \lim \dfrac{{\sqrt 2 n}}{{\sqrt {{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1} }} = \lim \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}^2} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.