Tìm số nguyên dương n sao cho: - 2.2. + 3.22. - 4.23. + ... + (2n + 1)22n. = 2013

Câu hỏi số 46393:

Vận dụng

Tìm số nguyên dương n sao cho:

$C^{1}_{2n+1}$ - 2.2. $C^{2}_{2n+1}$ + 3.2². $C^{3}_{2n+1}$ - 4.2³. $C^{4}_{2n+1}$ + ... + (2n + 1)2²ⁿ. $C^{2n+1}_{2n+1}$ = 2013

A. n = 1005

B. n = 1006

C. n = 1007

D. n = 1008

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:46393

Giải chi tiết

$C^{1}_{2n+1}$ - 2.2. $C^{2}_{2n+1}$ + 3.2². $C^{3}_{2n+1}$ - 4.2³. $C^{4}_{2n+1}$ + ... + (2n + 1)2²ⁿ. $C^{2n+1}_{2n+1}$ = 2013 (*)

Xét khai triển:

(1 + x)²ⁿ⁺¹

= $C^{0}_{2n+1}$ + x $C^{1}_{2n+1}$ + x² $C^{2}_{2n+1}$ + x³ $C^{3}_{2n+1}$ + x⁴ $C^{4}_{2n+1}$ + ... + x²ⁿ⁺¹ $C^{2n+1}_{2n+1}$

Đạo hàm cả hai vế của khai triển ta được:

(2n + 1)(1 + x)²ⁿ = $C^{1}_{2n+1}$ + 2x $C^{2}_{2n+1}$ + 3x² $C^{3}_{2n+1}$ + 4x³ $C^{4}_{2n+1}$ + ...

.. + (2n + 1)x²ⁿ $C^{2n+1}_{2n+1}$

Thay x = -2 vào ta được:

2n + 1 = $C^{1}_{2n+1}$ - 2.2. $C^{2}_{2n+1}$ + 3.2². $C^{3}_{2n+1}$ - 4.2³. $C^{4}_{2n+1}$ + ..

... + (2n + 1)2²ⁿ. $C^{2n+1}_{2n+1}$

Do đó (2) ⇔ 2n + 1 = 2013 ⇔ n = 1006

Vậy n = 1006 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.