Biết rằng hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(f\left( 2 \right) =

Câu hỏi số 464287:

Vận dụng

Biết rằng hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(f\left( 2 \right) = 5\);\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3}\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( {2x} \right)dx} \)

A. \(I = 7\)

B. \(I = 12\)

C. \(I = 20\)

D. \(I = \dfrac{{13}}{6}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464287

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân từng phần: đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( {2x} \right)dx\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x \Rightarrow du = dx\\dv = f'\left( {2x} \right)dx \Rightarrow v = \dfrac{1}{2}f\left( {2x} \right)\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( {2x} \right)dx} = \left. {\dfrac{1}{2}xf\left( {2x} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} = \dfrac{1}{2}f\left( 2 \right) - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)\dfrac{1}{2}dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{2}{3}\)

Vậy \(I = \dfrac{1}{2}.5 - \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{{13}}{6}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.