Biết rằng hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(f\left( 2 \right) = 5\);\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3}\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( {2x} \right)dx} \)

Câu 464287: Biết rằng hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(f\left( 2 \right) = 5\);\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3}\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( {2x} \right)dx} \)

A. \(I = 7\)

B. \(I = 12\)

C. \(I = 20\)

D. \(I = \dfrac{{13}}{6}\)

Câu hỏi : 464287

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng tích phân từng phần: đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( {2x} \right)dx\end{array} \right.\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x \Rightarrow du = dx\\dv = f'\left( {2x} \right)dx \Rightarrow v = \dfrac{1}{2}f\left( {2x} \right)\end{array} \right.\), khi đó ta có:
\(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( {2x} \right)dx} = \left. {\dfrac{1}{2}xf\left( {2x} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} = \dfrac{1}{2}f\left( 2 \right) - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} \).
Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\), khi đó ta có:
\(\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)\dfrac{1}{2}dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{2}{3}\)
Vậy \(I = \dfrac{1}{2}.5 - \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{{13}}{6}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.