Cho ba số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn

Câu hỏi số 464320:

Vận dụng

Cho ba số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c}\).

A. \(\max P = 36 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\)

B. \(\min P = 36 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\)

C. \(\max P = 6 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\)

D. \(\min P = 6 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464320

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng Cô-si cho hai số thực dương : \(\sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\,\,\forall a,\,\,b \ge 0\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương ta có:

\(\dfrac{1}{a} + 36a \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a} \cdot 36a} = 12\)

\(\dfrac{4}{b} + 36b \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{b} \cdot 36b} = 24\)

\(\dfrac{9}{c} + 36c \ge 2\sqrt {\dfrac{9}{c} \cdot 36c} = 36\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + 36a} \right) + \left( {\dfrac{4}{b} + 36b} \right) + \left( {\dfrac{9}{c} + 36c} \right) \ge 12 + 24 + 36\\ \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + 36a} \right) + \left( {\dfrac{4}{b} + 36b} \right) + \left( {\dfrac{9}{c} + 36c} \right) \ge 72\end{array}\)

\( \Rightarrow P + 36a + 36b + 36c \ge 72\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P + 36\left( {a + b + c} \right) \ge 72\\ \Rightarrow P + 36 \ge 72\\ \Rightarrow P \ge 72 - 36\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge 36\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi : \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = 36a\\\dfrac{4}{b} = 36b\\\dfrac{9}{c} = 36c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36{a^2} = 1\\36{b^2} = 4\\36{c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \dfrac{1}{{36}}\\{b^2} = \dfrac{4}{{36}}\\{c^2} = \dfrac{9}{{36}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{6}\\b = \dfrac{1}{3}\\c = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(\min P = 36\)\( \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.