Cho ba số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn

Câu hỏi số 464320:

Vận dụng

Cho ba số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c}\).

A. \(\max P = 36 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\)

B. \(\min P = 36 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\)

C. \(\max P = 6 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\)

D. \(\min P = 6 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464320

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng Cô-si cho hai số thực dương : \(\sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\,\,\forall a,\,\,b \ge 0\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương ta có:

\(\dfrac{1}{a} + 36a \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a} \cdot 36a} = 12\)

\(\dfrac{4}{b} + 36b \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{b} \cdot 36b} = 24\)

\(\dfrac{9}{c} + 36c \ge 2\sqrt {\dfrac{9}{c} \cdot 36c} = 36\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + 36a} \right) + \left( {\dfrac{4}{b} + 36b} \right) + \left( {\dfrac{9}{c} + 36c} \right) \ge 12 + 24 + 36\\ \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + 36a} \right) + \left( {\dfrac{4}{b} + 36b} \right) + \left( {\dfrac{9}{c} + 36c} \right) \ge 72\end{array}\)

\( \Rightarrow P + 36a + 36b + 36c \ge 72\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P + 36\left( {a + b + c} \right) \ge 72\\ \Rightarrow P + 36 \ge 72\\ \Rightarrow P \ge 72 - 36\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge 36\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi : \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = 36a\\\dfrac{4}{b} = 36b\\\dfrac{9}{c} = 36c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36{a^2} = 1\\36{b^2} = 4\\36{c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \dfrac{1}{{36}}\\{b^2} = \dfrac{4}{{36}}\\{c^2} = \dfrac{9}{{36}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{6}\\b = \dfrac{1}{3}\\c = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(\min P = 36\)\( \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6};\,\,b = \dfrac{1}{3};\,\,c = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10