Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \).

Câu 464326: Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \).

A. \(m = \sqrt 2 ,\,\,M = 3\)

B. \(m = 3,\,\,M = 3\sqrt 2 \)

C. \(m = \sqrt 2 ,\,\,M = 3\sqrt 2 \)

D. \(m = \sqrt 3 ,\,\,M = 3\)

Câu hỏi : 464326

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế, biến đổi tương đươg để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(f\left( x \right)\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \)

TXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\6 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 3 \le x \le 6 \Rightarrow D = \left[ { - 3;\,\,6} \right]\)

*) Tìm \(\min f\left( x \right)\)

Do \(f\left( x \right) > 0\). Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \\ \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = {\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2} + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} + {\left( {\sqrt {6 - x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = x + 3 + 6 - x + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow {f^2}\left( x \right) \ge 9\\ \Rightarrow f\left( x \right) \ge 3\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\6 - x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 6\end{array} \right.\)

Vậy \(m = \min f\left( x \right) = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 6\end{array} \right.\)

*) Tìm \(\max f\left( x \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương \(\left( {x + 3} \right)\) và \(\left( {6 - x} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \le x + 3 + 6 - x\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \le 9\\ \Leftrightarrow 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \le 9 + 9\\ \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \le 18\\ \Rightarrow f\left( x \right) \le 3\sqrt 2 \end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow x + 3 = 6 - x\)\( \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \(M = \max f\left( x \right) = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây