Cho \(a > b > 0\). Mệnh đề nào sao đây không đúng?

Câu hỏi số 464334:

Thông hiểu

A. \({a^3} - {b^3} > \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)

B. \(a\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right) > b\left( {{b^2} + 3{a^2}} \right)\)

C. \({a^2}\left( {a - 3b} \right) > {b^2}\left( {b - 3a} \right)\)

D. \(\left( {{a^3} - {b^3}} \right)\left( {{b^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {a^3}} \right) > 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464334

Phương pháp giải

Xét hiệu và biến đổi vế trái của bất đẳng thức về hằng đẳng thức, tổng hoặc tích của các biểu thức luôn đúng với \(a > b > 0\).

Giải chi tiết

+) Xét đáp án A

\(\begin{array}{l}{a^3} - {b^3} > \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) > \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} - {a^2} - {b^2}} \right) > 0\\ \Leftrightarrow ab\left( {a - b} \right) > 0\end{array}\)

Vì \(a > b > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a - b > 0\\\,ab > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow ab\left( {a - b} \right) > 0\)

\( \Rightarrow \) BĐT \({a^3} - {b^3} > \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\) đúng với \(a > b > 0\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

+) Xét đáp án B

\(\begin{array}{l}a\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right) > b\left( {{b^2} + 3{a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + 3a{b^2} > {b^3} + 3{a^2}b\\ \Leftrightarrow {a^3} + 3a{b^2} - {b^3} - 3{a^2}b > 0\\ \Leftrightarrow {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^3} > 0\end{array}\)

Vì \(a > b > 0\) nên \(a - b > 0 \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^3} > 0\).

\( \Rightarrow \) BĐT \(a\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right) > b\left( {{b^2} + 3{a^2}} \right)\) đúng với \(a > b > 0\).

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

+) Xét đáp án C

\(\begin{array}{l}{a^2}\left( {a - 3b} \right) > {b^2}\left( {b - 3a} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} - 3{a^2}b > {b^3} - 3a{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^3} > 0\end{array}\)

Vì \(a > b > 0\) nên \(a - b > 0 \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^3} > 0\)

\( \Rightarrow \) BĐT \({a^2}\left( {a - 3b} \right) > {b^2}\left( {b - 3a} \right)\) đúng với \(a > b > 0\).

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

+) Xét đáp án D

\(\begin{array}{l}\left( {{a^3} - {b^3}} \right)\left( {{b^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {a^3}} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\left[ {\left( {{b^3} - {a^3}} \right) + 3ab\left( {b - a} \right)} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\left[ {\left( {b - a} \right)\left( {{b^2} + ab + {a^2}} \right) + 3ab\left( {b - a} \right)} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\left[ {\left( {b - a} \right)\left( {{b^2} + ab + {a^2} + 3ab} \right)} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)\left( { - {b^2} - ab - {a^2} - 3ab} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\left( { - {b^2} - 4ab - {a^2}} \right) > 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + 4ab + {a^2}} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + 4ab + {a^2}} \right) < 0\end{array}\)

Vì \(a - b > 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} > 0\\\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) > 0\\\left( {{b^2} + 4ab + {a^2}} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + 4ab + {a^2}} \right) > 0\) với mọi \(a > b > 0\).

\( \Rightarrow \) BĐT \(\left( {{a^3} - {b^3}} \right)\left( {{b^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {a^3}} \right) > 0\) không đúng với \(a > b > 0\).

\( \Rightarrow \) Đáp án D không đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.