Với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d > 0\), xét các mệnh đề sau: \(\left( I \right):\,\,\dfrac{a}{b} < 1

Câu hỏi số 464335:

Thông hiểu

Với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d > 0\), xét các mệnh đề sau:

\(\left( I \right):\,\,\dfrac{a}{b} < 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)

\(\left( {II} \right):\,\,\dfrac{a}{b} > 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)

\(\left( {III} \right):\,\,\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + d}} < \dfrac{c}{d}\)

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464335

Phương pháp giải

Xét hiệu ở từng mệnh đề, sau đó biến đổi biểu thức về dạng tổng, hiệu hoặc tích của các biểu thức không âm với từng yêu cầu của đề bài.

Giải chi tiết

\(\left( I \right)\)Xét \(\dfrac{a}{b} - \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)\( = \dfrac{{a\left( {b + c} \right) - b\left( {a + c} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}\)\( = \dfrac{{ab + ac - ab - bc}}{{b\left( {b + c} \right)}}\) \( = \dfrac{{ac - bc}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \dfrac{{c\left( {a - b} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}.\)

Vì \(\dfrac{a}{b} < 1 \Rightarrow a < b\)\( \Rightarrow a - b < 0\)

Mà \(a,b,c,d > 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c\left( {a - b} \right) < 0\\b\left( {b + c} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \dfrac{{c\left( {a - b} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}} < 0\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} - \dfrac{{a + c}}{{b + c}} < 0\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(\left( I \right)\) đúng.

\(\left( {II} \right)\) Xét \(\dfrac{a}{b} - \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)\( = \dfrac{{a\left( {b + c} \right) - b\left( {a + c} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}\)\( = \dfrac{{ac - bc}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \dfrac{{c\left( {a - b} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}.\)

Vì \(\dfrac{a}{b} > 1 \Rightarrow a > b\) \( \Rightarrow a - b > 0\)

Mà \(a,b,c,d > 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c\left( {a - b} \right) > 0\\b\left( {b + c} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \dfrac{{c\left( {a - b} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}} > 0\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} - \dfrac{{a + c}}{{b + c}} > 0\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{{a + c}}{{b + c}}\)

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(\left( {II} \right)\) đúng .

\(\left( {III} \right)\) Vì \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad < bc\).

+) Xét \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + d}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {a + c} \right)\\ \Leftrightarrow ab + ad < ab + bc\end{array}\)

\( \Leftrightarrow ad < bc\)(thỏa mãn)

+) Xét \(\dfrac{{a + c}}{{b + d}} < \dfrac{c}{d}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {a + c} \right) < c\left( {b + d} \right)\\ \Leftrightarrow ad + cd < bc + cd\end{array}\)

\( \Leftrightarrow ad < bc\)(thỏa mãn điều kiện)

\( \Rightarrow \) Mệnh đề \(\left( {III} \right)\) đúng.

Vậy có 3 mệnh đề đúng

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10