Cho \(a\) là một số thực bất kì, \(P = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\). Bất đẳng thức nào sau đây

Câu hỏi số 464338:

Thông hiểu

Cho \(a\) là một số thực bất kì, \(P = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\). Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a\)?

A. \(P > - 1\)

B. \(P > 1\)

C. \(P < - 1\)

D. \(P \le 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464338

Phương pháp giải

Xét biểu thức: \(P - 1;\,\,P + 1\)

Giải chi tiết

Với \(a\) là một số thực bất kì, ta có:

+) Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}P - 1 = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}} - 1 = \dfrac{{2a - {a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - \left( {{a^2} - 2a + 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = \dfrac{{ - {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}}.\end{array}\)

Ta có:\({\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a \in R\).

\( \Rightarrow - {\left( {a - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(a \in R\).

\( \Rightarrow \dfrac{{ - {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}} \le 0\) với mọi \(a \in R\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow P \le 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(B\) sai và đáp án \(D\) đúng.

+) Xét tổng:

\(\begin{array}{l}P + 1 = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}} + 1 = \dfrac{{2a + {a^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {{a^2} + 2a + 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}}.\end{array}\)

Ta có:\({\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a \in R\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}} \ge 0\) với mọi \(a \in R\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow P \ge - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(A\) và đáp án \(C\) sai.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.