Cho \(a\) là một số thực bất kì, \(P = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\). Bất đẳng thức nào sau đây

Câu hỏi số 464338:

Thông hiểu

Cho \(a\) là một số thực bất kì, \(P = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\). Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a\)?

A. \(P > - 1\)

B. \(P > 1\)

C. \(P < - 1\)

D. \(P \le 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464338

Phương pháp giải

Xét biểu thức: \(P - 1;\,\,P + 1\)

Giải chi tiết

Với \(a\) là một số thực bất kì, ta có:

+) Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}P - 1 = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}} - 1 = \dfrac{{2a - {a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - \left( {{a^2} - 2a + 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = \dfrac{{ - {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}}.\end{array}\)

Ta có:\({\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a \in R\).

\( \Rightarrow - {\left( {a - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(a \in R\).

\( \Rightarrow \dfrac{{ - {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}} \le 0\) với mọi \(a \in R\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow P \le 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(B\) sai và đáp án \(D\) đúng.

+) Xét tổng:

\(\begin{array}{l}P + 1 = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}} + 1 = \dfrac{{2a + {a^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {{a^2} + 2a + 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}}.\end{array}\)

Ta có:\({\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a \in R\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}} \ge 0\) với mọi \(a \in R\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow P \ge - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án \(A\) và đáp án \(C\) sai.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10