Cho \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số dương. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu hỏi số 464339:

Vận dụng

A. Nếu \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}\) thì \(\dfrac{{a + b}}{a} < \dfrac{{c + d}}{c}\)

B. Nếu \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}\) thì \(\dfrac{{a + b}}{b} \ge \dfrac{{c + d}}{d}\)

C. \(a + b + c \le \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} \)

D. \(2\sqrt[{}]{{ab}}\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \ge 2ab + a + b\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464339

Phương pháp giải

Biến đổi và áp dụng tính chất của bất đẳng thức \(a > b \Leftrightarrow a + c > b + c\) (cộng đều hai vế với một số thực ta được bất đẳng thức cùng chiều).

Giải chi tiết

Ta có:

+) \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{b}{a} < \dfrac{d}{c}\)\( \Rightarrow \dfrac{b}{a} + 1 < \dfrac{d}{c} + 1\)\( \Rightarrow \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{a} < \dfrac{d}{c} + \dfrac{c}{c}\)\( \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{a} < \dfrac{{c + d}}{c}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

+) \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{b} + 1 > \dfrac{c}{d} + 1\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{b} > \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{d}\)\( \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{b} > \dfrac{{c + d}}{d}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}a + b + c \le \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} \\ \Rightarrow 2a + 2b + 2c \le 2\sqrt {ab} + 2\sqrt {bc} + 2\sqrt {ac} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b + b - 2\sqrt {bc} + c + a - 2\sqrt {ac} + c \le 0\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} + {\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} \le 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\), \({\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\), \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) với mọi số dương \(a,\,\,b,\,\,c\).

\( \Rightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} + {\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - \sqrt b = 0\\\sqrt b - \sqrt c = 0\\\sqrt c - \sqrt a = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \sqrt a = \sqrt b = \sqrt c \) \( \Leftrightarrow a = b = c\)(mâu thuẫn với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}2\sqrt[{}]{{ab}}\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \ge 2ab + a + b\\ \Leftrightarrow 2a\sqrt b + 2b\sqrt a \ge 2ab + a + b\\ \Leftrightarrow 2a\sqrt b + 2b\sqrt a \ge ab + a + ab + b\\ \Leftrightarrow ab - 2a\sqrt b + a + ab - 2b\sqrt a + b \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {ab} - \sqrt a } \right)^2} + {\left( {\sqrt {ab} - \sqrt b } \right)^2} \le 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {ab} - \sqrt a = 0\\\sqrt {ab} - \sqrt b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {ab} - \sqrt a = 0\\\sqrt {ab} - \sqrt b = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a \left( {\sqrt b - 1} \right) = 0\\\sqrt b \left( {\sqrt a - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1\) (mâu thuẫn với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10