Cho \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số dương. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu hỏi số 464339:

Vận dụng

A. Nếu \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}\) thì \(\dfrac{{a + b}}{a} < \dfrac{{c + d}}{c}\)

B. Nếu \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}\) thì \(\dfrac{{a + b}}{b} \ge \dfrac{{c + d}}{d}\)

C. \(a + b + c \le \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} \)

D. \(2\sqrt[{}]{{ab}}\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \ge 2ab + a + b\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464339

Phương pháp giải

Biến đổi và áp dụng tính chất của bất đẳng thức \(a > b \Leftrightarrow a + c > b + c\) (cộng đều hai vế với một số thực ta được bất đẳng thức cùng chiều).

Giải chi tiết

Ta có:

+) \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{b}{a} < \dfrac{d}{c}\)\( \Rightarrow \dfrac{b}{a} + 1 < \dfrac{d}{c} + 1\)\( \Rightarrow \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{a} < \dfrac{d}{c} + \dfrac{c}{c}\)\( \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{a} < \dfrac{{c + d}}{c}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

+) \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{b} + 1 > \dfrac{c}{d} + 1\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{b} > \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{d}\)\( \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{b} > \dfrac{{c + d}}{d}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}a + b + c \le \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} \\ \Rightarrow 2a + 2b + 2c \le 2\sqrt {ab} + 2\sqrt {bc} + 2\sqrt {ac} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b + b - 2\sqrt {bc} + c + a - 2\sqrt {ac} + c \le 0\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} + {\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} \le 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\), \({\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\), \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) với mọi số dương \(a,\,\,b,\,\,c\).

\( \Rightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} + {\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - \sqrt b = 0\\\sqrt b - \sqrt c = 0\\\sqrt c - \sqrt a = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \sqrt a = \sqrt b = \sqrt c \) \( \Leftrightarrow a = b = c\)(mâu thuẫn với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}2\sqrt[{}]{{ab}}\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \ge 2ab + a + b\\ \Leftrightarrow 2a\sqrt b + 2b\sqrt a \ge 2ab + a + b\\ \Leftrightarrow 2a\sqrt b + 2b\sqrt a \ge ab + a + ab + b\\ \Leftrightarrow ab - 2a\sqrt b + a + ab - 2b\sqrt a + b \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {ab} - \sqrt a } \right)^2} + {\left( {\sqrt {ab} - \sqrt b } \right)^2} \le 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {ab} - \sqrt a = 0\\\sqrt {ab} - \sqrt b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {ab} - \sqrt a = 0\\\sqrt {ab} - \sqrt b = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a \left( {\sqrt b - 1} \right) = 0\\\sqrt b \left( {\sqrt a - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1\) (mâu thuẫn với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.