Cho \(a > \,b > 0\) và \(x = \dfrac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}},\,\,y = \dfrac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}}\). Mệnh

Câu hỏi số 464340:

Vận dụng

Cho \(a > \,b > 0\) và \(x = \dfrac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}},\,\,y = \dfrac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(x > y\)

B. \(x < y\)

C. \(x = y\)

D. Không so sánh được

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464340

Phương pháp giải

Xét hiệu \(x - y\), biến đổi và sử dụng điều kiện của giả thiết \(a > \,b > 0\) để chứng minh \(x - y < 0\).

Giải chi tiết

Xét hiệu \(x - y\), ta có:

\(\begin{array}{l}x - y = \dfrac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}} - \dfrac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right) - \left( {1 + b} \right)\left( {1 + a + {a^2}} \right)}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + b + {b^2} + a + ab + a{b^2} - 1 - a - {a^2} - b - ab - b{a^2}}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{b^2} - {a^2} + a{b^2} - b{a^2}}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) + ab\left( {b - a} \right)}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {b - a} \right)\left( {a + ab + b} \right)}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\,\end{array}\)

Vì \(a > b > 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - a < 0\\\left( {a + ab + b} \right) > 0\\\left( {1 + a + {a^2}} \right) > 0\\\left( {1 + b + {b^2}} \right) > 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \dfrac{{\left( {b - a} \right)\left( {a + ab + b} \right)}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\,\, < 0\)\( \Rightarrow x - y < 0\)

\( \Rightarrow x < y\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10