Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\). Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu hỏi số 464341:

Vận dụng

A. \(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^4} + 1}} \ge \dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{ab + 1}} \ge \dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{{a^2} + 2}} \le \dfrac{1}{2}\)

D. Tất cả đều đúng.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464341

Phương pháp giải

Xét hiệu và biến đổi các biểu thức đã cho về tổng, tích,… của các biểu thức luôn đúng với mọi điều kiện của \(a\).

Giải chi tiết

+) Xét đáp án A

\(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^4} + 1}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2{a^2} - {a^4} - 1}}{{2\left( {{a^4} + 1} \right)}}\)

\( = - \dfrac{{{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^4} + 1} \right)}} \le 0\) với mọi số thực dương \(a\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{a^4} + 1}} \le \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A sai.

+) Xét đáp án B

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{ab + 1}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2\sqrt {ab} - \left( {ab + 1} \right)}}{{2\left( {ab + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{ - \left( {ab - 2\sqrt {ab} + 1} \right)}}{{2\left( {ab + 1} \right)}}\end{array}\)

\( = \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt {ab} - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {ab + 1} \right)}} \le 0\) với mọi số thực dương \(a,\,\,b\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{ab + 1}} \le \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

+) Xét đáp án C

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{{a^2} + 2}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2\sqrt {{a^2} + 1} - {a^2} - 2}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}}\\ = - \dfrac{{{a^2} - 2\sqrt {{a^2} + 1} + 2}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}}\\ = - \dfrac{{{a^2} + 1 - 2\sqrt {{a^2} + 1} + 1}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}}\end{array}\)

\( = - \dfrac{{\left( {\sqrt {{a^2} + 1} - 1} \right)}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}} \le 0\) với mọi số thực dương \(a\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{{a^2} + 2}} \le \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10