Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu hỏi số 464342:

Vận dụng

A. \(ab + bc + ca \ge 0\)

B. \(ab + bc + ca \ge - \dfrac{1}{2}\)

C. \(ab + bc + ca < 0\)

D. \(ab + bc + ca \ge 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464342

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) và tính chất của bất đẳng thức \(\left\{ \begin{array}{l}a > b\\c > d\end{array} \right. \Rightarrow a + c > b + d\) để chứng minh được \(ab + bc + ca \ge - \dfrac{1}{2}\).

Giải chi tiết

Với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\\{b^2} - 2bc + {c^2} \ge 0\\{c^2} - 2ac + {a^2} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ac\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2} \ge 2ab + 2bc + 2ac\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2bc + 2ac\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\end{array}\)

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) nên \(ab + bc + ca \le 1\)

Lại có \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge - 1\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca \ge - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10