Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu hỏi số 464342:

Vận dụng

A. \(ab + bc + ca \ge 0\)

B. \(ab + bc + ca \ge - \dfrac{1}{2}\)

C. \(ab + bc + ca < 0\)

D. \(ab + bc + ca \ge 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464342

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) và tính chất của bất đẳng thức \(\left\{ \begin{array}{l}a > b\\c > d\end{array} \right. \Rightarrow a + c > b + d\) để chứng minh được \(ab + bc + ca \ge - \dfrac{1}{2}\).

Giải chi tiết

Với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\\{b^2} - 2bc + {c^2} \ge 0\\{c^2} - 2ac + {a^2} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ac\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2} \ge 2ab + 2bc + 2ac\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2bc + 2ac\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\end{array}\)

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) nên \(ab + bc + ca \le 1\)

Lại có \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge - 1\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca \ge - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.