Cho \(a,\,\,b\) là các số thực. Bất đẳng thức nào sau đây là đúng?

Câu hỏi số 464343:

Vận dụng

A. \(\dfrac{{a + b}}{2} > \sqrt {ab} \) với \(a,\,\,b \ge 0\)

B. \({\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\)

C. \({a^2} + {b^2} + 1 \ge a + b + ab\)

D. \({a^2} + {b^2} + 9 > 3\left( {a + b} \right) + ab\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464343

Phương pháp giải

Xét hiệu và biến đổi về các hằng đẳng thức, tổng hoặc tích của các biểu thức không âm và xét dấu của bất đẳng thức xảy ra khi nào.

Giải chi tiết

+) Xét đáp án A

\(\begin{array}{l}\dfrac{{a + b}}{2} > \sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a + b > 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A sai khi \(a = b = 0\).

+) Xét đáp án B

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 2{a^2} + 2{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} - 2{a^2} - 2{b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow - {a^2} + 2ab - {b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \le 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi số thực \(a,\,\,b\) nên \(\left( 1 \right)\) chỉ xảy ra khi \(a = b\) (trái với giả thiết)

\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

+) Xét đáp án C

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 1 \ge a + b + ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + 1} \right) \ge 2\left( {a + b + ab} \right)\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2 - 2a - 2b - 2ab \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2a + 1} \right) + \left( {{b^2} - 2b + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \,\,\left( 1 \right)\) đúng với mọi số thực \(a,\,\,b\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

+) Xét đáp án D

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 9 > 3\left( {a + b} \right) + ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + 9} \right) > 2\left[ {3\left( {a + b} \right) + ab} \right]\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 18 > 6a + 6b + 2ab\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} - 6a + 9 + {b^2} - 6b + 9 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + \left( {{a^2} - 6a + 9} \right) + \left( {{b^2} - 6b + 9} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - 3} \right)^2} + \left( {b - 3} \right){}^2 > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \)Đáp án D sai khi \(a = b = 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10