Cho \(a < b < c < d\) và \(x = \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right)\), \(y = \left( {a + c}

Câu hỏi số 464345:

Vận dụng

Cho \(a < b < c < d\) và \(x = \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right)\), \(y = \left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right)\), \(z = \left( {a + d} \right)\left( {b + c} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(x < y < z\)

B. \(y < x < z\)

C. \(z < x < y\)

D. \(x < z < y\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:464345

Phương pháp giải

Xét hiệu \(x - y\), \(y - z\) và áp dụng tính chất của bất đẳng thức để chứng minh \(x - y < 0,y - z < 0\).

Giải chi tiết

Xét hiệu \(x - y\), ta có:

\(\begin{array}{l}x - y = \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) - \left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {ac + ad + bc + bd} \right) - \left( {ab + ad + bc + dc} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ac + ad + bc + bd - ab - ad - bc - dc\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ac + bd - ab - dc\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {ac - ab} \right) + \left( {bd - dc} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - a\left( {b - c} \right) + d\left( {b - c} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {d - a} \right)\left( {b - c} \right)\end{array}\)

Vì \(a < b < c < d\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}d - a > 0\\b - c < 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {d - a} \right)\left( {b - c} \right) < 0\)

\( \Rightarrow x - y < 0\)

\( \Leftrightarrow x < y\)

Xét hiệu \(y - z\), ta có:

\(\begin{array}{l}y - z = \left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) - \left( {a + d} \right)\left( {b + c} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {ab + ad + bc + cd} \right) - \left( {ab + ac + bd + cd} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ab + ad + bc + cd - ab - ac - bd - cd\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ad + bc - ac - bd\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {ad - bd} \right) + \left( {bc - ac} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = d\left( {a - b} \right) + c\left( {b - a} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = d\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {d - c} \right)\left( {a - b} \right)\end{array}\)

Vì \(a < b < c < d\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}d - c > 0\\a - b < 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {d - c} \right)\left( {a - b} \right) < 0\)

\( \Rightarrow y - z < 0\)

\( \Rightarrow y < z\)

Vậy \(x < y < z\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10