Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA = SB = SC = SD\), \(AB = a,\,\,AD = 2a\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA = SB = SC = SD\), \(AB = a,\,\,AD = 2a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là \({60^0}\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng định lí cosin và định lí Pytago tính độ dài cạnh bên của hình chóp.
- Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có các cạnh bên bằng nhau \(R = \dfrac{{canh\,\,be{n^2}}}{{2chieu\,\,cao}}\)
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\) ta có \(SM \bot AB,\,\,SN \bot CD\).
Xét \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có \(\left\{ \begin{array}{l}S\,\,chung\\AB//CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx//AB//CD\)
\( \Rightarrow SM \bot Sx,\,\,SN \bot Sx\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot Sx\\SN \subset \left( {SCD} \right),\,\,SN \bot Sx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;SN} \right) = \angle MSN = {60^0}\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SMN\) ta có:
\(\begin{array}{l}S{M^2} + S{N^2} - M{N^2} = 2SM.SN.\cos {60^0}\\ \Rightarrow 2S{M^2} - 4{a^2} = 2S{M^2}.\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow S{M^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow SM = 2a\end{array}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAM\) ta có:
\(SA = \sqrt {S{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOM\) ta có:
\(SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)
Vậy bán kính mặt ngoại tiếp khối chóp là: \(R = \dfrac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \dfrac{{17{a^2}}}{4}.\dfrac{1}{{2.a\sqrt 3 }} = \dfrac{{17a\sqrt 3 }}{{24}}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
