Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA = SB = SC = SD\), \(AB = a,\,\,AD = 2a\).

Câu hỏi số 465576:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA = SB = SC = SD\), \(AB = a,\,\,AD = 2a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là \({60^0}\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{{17a\sqrt 3 }}{6}\)

B. \(\dfrac{{17a\sqrt 3 }}{{24}}\)

C. \(\dfrac{{17a\sqrt 3 }}{4}\)

D. \(\dfrac{{17a\sqrt 3 }}{{18}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:465576

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng định lí cosin và định lí Pytago tính độ dài cạnh bên của hình chóp.

- Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có các cạnh bên bằng nhau \(R = \dfrac{{canh\,\,be{n^2}}}{{2chieu\,\,cao}}\)

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\) ta có \(SM \bot AB,\,\,SN \bot CD\).

Xét \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có \(\left\{ \begin{array}{l}S\,\,chung\\AB//CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx//AB//CD\)

\( \Rightarrow SM \bot Sx,\,\,SN \bot Sx\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot Sx\\SN \subset \left( {SCD} \right),\,\,SN \bot Sx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;SN} \right) = \angle MSN = {60^0}\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SMN\) ta có:

\(\begin{array}{l}S{M^2} + S{N^2} - M{N^2} = 2SM.SN.\cos {60^0}\\ \Rightarrow 2S{M^2} - 4{a^2} = 2S{M^2}.\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow S{M^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow SM = 2a\end{array}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAM\) ta có:

\(SA = \sqrt {S{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOM\) ta có:

\(SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Vậy bán kính mặt ngoại tiếp khối chóp là: \(R = \dfrac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \dfrac{{17{a^2}}}{4}.\dfrac{1}{{2.a\sqrt 3 }} = \dfrac{{17a\sqrt 3 }}{{24}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.