Cho hình nón đỉnh \(S\) có chiều cao bằng bán kính đáy bằng \(2a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Câu hỏi số 465578:

Vận dụng

Cho hình nón đỉnh \(S\) có chiều cao bằng bán kính đáy bằng \(2a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(\left( S \right)\) cắt đường tròn đáy tại \(A,\,\,B\) sao cho \(AB = 2\sqrt 3 a\). Khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy hình nón đến \(\left( P \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

D. \(a\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:465578

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Trong \(\left( {SOH} \right)\) kẻ \(OK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\), chứng minh \(OK \bot \left( {SAB} \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago tính \(OH\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOH\) tính \(OK\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(OH \bot AB\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Trong \(\left( {SOH} \right)\) kẻ \(OK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OH\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow AB \bot OK\\\left\{ \begin{array}{l}OK \bot AB\\OK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OK\end{array}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) ta có: \(OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuongo \(SOH\) ta có \(OK = \dfrac{{SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy \(d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.